Cho ba số thực \(x,\,y,z\) thỏa mãn \(x+y-z=2\). B...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Chuyến sang hệ trục tọa độ trong không gian.

Giải chi tiết:

\(\begin{align}  & A=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-2y-2z+3}+\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-4x-2y+5} \\ & \,\,\,\,\,=\sqrt{{{(x-1)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}+{{(z-1)}^{2}}}+\sqrt{{{(x-2)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}+{{z}^{2}}} \\\end{align}\)

Lấy \(S(x;y;z)\in (P):x+y-z=2\) bất kì, \(M\left( 1;1;1 \right),\,\,N(2;1;0)\).

\(\Rightarrow A=\sqrt{{{(x-1)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}+{{(z-1)}^{2}}}+\sqrt{{{(x-2)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}+{{z}^{2}}}=SM+SN\)

Ta thấy:   \(\left( 1+1-1-2 \right)(2+1-0-2)<0\Rightarrow M,\,N\) nằm khác phía so với mặt phẳng \((P):x+y-z=2\)

Ta có: \(SM+SN\ge MN\)

\({{\left( SM+SN \right)}_{\min }}=MN\Leftrightarrow \,\,\overline{M,S,N}\)

Khi đó, S là giao điểm của MN và (P).

*) Xác định tọa độ của S:

\(\overrightarrow{MN}=(1;0;-1)\)

Phương trình đường thẳng MN: \(\left\{ \begin{align} & x=1+t \\ & y=1 \\ & z=1-t \\\end{align} \right.\)

\(S\in MN\Rightarrow S(1+t;1;1-t)\)

\(S\in (P)\Rightarrow (1+t)+1-(1-t)=2\Leftrightarrow 1+2t=2\Leftrightarrow t=\frac{1}{2}\Rightarrow S\left( \frac{3}{2};1;\frac{1}{2} \right)\)

Vậy, biểu thức A đạt GTNN tại \(\left( \frac{3}{2};1;\frac{1}{2} \right)\Rightarrow {{x}_{0}}+{{y}_{0}}=\frac{5}{2}\)

Chọn: D