Nếu

- Hướng dẫn giải

Ta có: $P=\frac{x^2+2x+5}{2\left(x+1\right)}=\frac{{\left(x+1\right)}^2+4}{2\left(x+1\right)}=\frac{x+1}{2}+\frac{2}{x+1}$

Vì $x\ge 0\Rightarrow x+1>0\Rightarrow \frac{x+1}{2}>0; \frac{2}{x+1}>0$

Áp dụng bất đẳng thức cô – si cho 2 số dương

$\frac{x+1}{2};\frac{2}{x+1}$:$\frac{x+1}{2}+\frac{2}{x+1}\ge 2.\sqrt{\frac{x+1}{2}.\frac{2}{x+1}}=2$

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2 khi x = 1.