Tìm m để hàm số

B

- Hướng dẫn giải

Đáp án B

Xét hàm số 

$y=\frac{2\cot x+1}{\cot x+m}\stackrel{t=\cot x}{\to }y=\frac{2t+1}{t+m}\Rightarrow y_t^{\text{'}}=t\text{'}.\frac{2m-1}{{\left(t+m\right)}^2}$

Để hàm số đã cho đồng biến trên 

$\left(\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}\right)\iff y_t^{\text{'}}>0,\forall x\in \left(0;1\right)\iff t\text{'}.\frac{2m-1}{{\left(t+m\right)}^2}>0,\forall x\in \left(0;1\right)$

Mà 

$$\begin{gathered} t\text{'}<0,\forall x\in \left(0;1\right)\Rightarrow \frac{2m-1}{{\left(t+m\right)}^2}<0;\forall x\in \left(0;1\right) \\ \iff \left\{\begin{array}{l}2m-1<0\\ t=-m\notin \left(0;1\right)\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m<\frac{1}{2}\\ \left[\begin{array}{l}-m\ge 1\\ -m\le 0\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}m\le -1\\ 0\le m<\frac{1}{2}\end{array}\right. \end{gathered}$$