Cho hình lập phương ABCD.

- Hướng dẫn giải

Ta chọn hệ trục tọa độ như sau: ${\mathrm{B}}_1$ là gốc tọa độ, $\overrightarrow{{\mathrm{B}}_1{\mathrm{A}}_1}=\overrightarrow{i}$,$\overrightarrow{{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1}=\overrightarrow{j}$,  $\overrightarrow{{\mathrm{B}}_1\mathrm{B}}=\overrightarrow{k}$. Trong hệ trục vừa chọn, ta có ${\mathrm{B}}_1$(0; 0; 0), B(0; 0; 1), ${\mathrm{A}}_1$(1; 0; 0), ${\mathrm{D}}_1$(1; 1; 0), C(0; 1; 1), D(1; 1; 1), ${\mathrm{C}}_1$(0; 1; 0).

Suy ra M(0; 0; 1/2), P(1; 1/2; 0), N(1/2; 1; 1)

Ta có $\overrightarrow{\mathrm{MP}}$ = (1; 1/2; −1/2); $\overrightarrow{{\mathrm{C}}_1\mathrm{N}}$ = (1/2; 0; 1)

Gọi ($\mathrm{\alpha }$) là mặt phẳng chứa ${\mathrm{C}}_1\mathrm{N}$ và song song với MP. ($\mathrm{\alpha }$) có vecto pháp tuyến là $\overrightarrow{\mathrm{n}}$ = (1/2; −5/4; −14) hay $\overrightarrow{\mathrm{n}\text{'}}$ = (2; −5; −1)

Phương trình của ($\mathrm{\alpha }$) là 2x – 5(y – 1) – z = 0 hay 2x – 5y – z + 5 = 0

Ta có:

d(MP, ${\mathrm{C}}_1$N) = d(M,($\mathrm{\alpha }$)) 

Ta có:

Vậy $\angle$(MP,${\mathrm{C}}_1$N) = 90$°$.