Tập nghiệm của phương trình

- Hướng dẫn giải

Đặt $t=\sqrt[4]{x-\sqrt{x^2-1}},t>0$

$\sqrt[4]{x-\sqrt{x^2-1}}=t\Rightarrow t^2=\sqrt{x-\sqrt{x^2-1}}=\sqrt{\frac{\left(x-\sqrt{x^2-1}\right)\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)}{x+\sqrt{x^2-1}}}$

$\sqrt{\frac{x^2-x^2+1}{x+\sqrt{x^2-1}}}=\sqrt{\frac{1}{x+\sqrt{x^2-1}}}=\frac{1}{x+\sqrt{x^2-1}}\Rightarrow \sqrt{x+\sqrt{x^2-1}}=\frac{1}{t^2}$

Ta có pt: $t+\frac{1}{t^2}=2\iff t^3-2t^2+1=0\iff \left[\begin{array}{c}t=1\\ t=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\\ t=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\end{array}\right.$

So sánh với điều kiện t > 0 ta tìm được $t=1,t=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

Trường hợp 1: $t=1:\sqrt[4]{x-\sqrt{x^2-1}}=1\iff x-\sqrt{x^2-1}=1$

$\iff x-1=\sqrt{x^2-1}\iff \left\{\begin{array}{c}x\ge 1\\ x^2-2x+1=x^2-1\end{array}\right.\iff x=1$

Trường hợp 2: $t=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Rightarrow \sqrt[4]{x-\sqrt{x^2-1}}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

$\iff x-\sqrt{x^2-1}=\frac{7+3\sqrt{5}}{2}\iff x-\frac{7+3\sqrt{5}}{2}=\sqrt{x^2-1}$

$\iff \left\{\begin{array}{c}x\ge \frac{7+3\sqrt{5}}{2}\\ {\left(x-\frac{7+3\sqrt{5}}{2}\right)}^2=x^2-1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}x\ge \frac{7+3\sqrt{5}}{2}\\ x=\frac{7}{2}\end{array}\right.\Rightarrow x\in \varnothing$

Kết hợp hai trường hợp ta được nghiệm x = 1

Đáp án cần chọn là: D