Cho hai đường tròn

D

- Hướng dẫn giải

Đáp án D.

Gắn hệ trục tọa độ Oxy sao cho $O_1\equiv O$ (gốc tọa độ).

Phương trình đường tròn $\left(O_1;5\right)$ là $x^2+y^2=5^2\Rightarrow y=\pm \sqrt{25-x^2}.$

Tam giác $O_1{O}_{2}A$ vuông tại $O_2,$ có $O_1{O}_2=\sqrt{O_1{A}^2-O_2{A}^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4.$

Phương trình đường tròn $\left(O_2;3\right)$ là ${\left(x-4\right)}^2+y^2=9\Rightarrow y=\pm \sqrt{9-{\left(x-4\right)}^2}.$

Gọi $V_1$ là thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng $D_1$ được giới hạn bởi các đường $y=\sqrt{9-{\left(x-4\right)}^2},y=0,x=4,x=7$ quanh trục tung $\Rightarrow V_1=\pi \underset{4}{\overset{7}{\int }}\left[9-{\left(x-4\right)}^2\right]dx.$

Gọi $V_2$ là thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng $D_2$ được giới hạn bởi các đường $y=\sqrt{25-x^2},y=0,x=4,x=5$ quanh trục tung $\Rightarrow V_2=\pi \underset{4}{\overset{5}{\int }}\left[25-x^2\right]dx.$

Khi đó, thể tích cần tính là:

$$\begin{gathered} V=V_1-V_2 \\ =\pi \underset{4}{\overset{7}{\int }}\left[9-{\left(x-4\right)}^2\right]dx-\pi \underset{4}{\overset{5}{\int }}\left(25-x^2\right)dx \\ =\frac{40\pi }{3}. \end{gathered}$$