Cho \(f(n)={{\left( {{n}^{2}}+n+1 \right)}^{2}}+1,...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Biến đổi, phân tích \(f\left( n \right)\) thành nhân tử, từ đó suy ra \(f\left( 2n-1 \right)\) và \(f\left( 2n \right)\) theo \(f\left( n \right)\) .

+) Xét thương \(\frac{f\left( 2n-1 \right)}{f\left( 2n \right)}\)

+) Thay vào biểu thức \({{u}_{n}}=\frac{f(1).f(3)...f(2n-1)}{f(2).f(4)...f(2n)}=\frac{f\left( 1 \right)}{f\left( 2 \right)}.\frac{f\left( 2 \right)}{f\left( 3 \right)}....\frac{f\left( 2n-1 \right)}{f\left( 2n \right)}\)

+) Rút gọn và sử dụng phương pháp hàm số để giải bất phương trình logarit.

Giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{align}f(n)={{({{n}^{2}}+n+1)}^{2}}+1={{({{n}^{2}}+1)}^{2}}+2n({{n}^{2}}+1)+{{n}^{2}}+1=({{n}^{2}}+1)({{n}^{2}}+1+2n+1)=({{n}^{2}}+1)({{n}^{2}}+2n+2) \\  \Rightarrow f(2n-1)=\left[ {{(2n-1)}^{2}}+1 \right]\left[ {{(2n-1)}^{2}}+2.(2n-1)+2 \right]=(4{{n}^{2}}-4n+2)(4{{n}^{2}}+1) \\  \,\,\,\,\,\,f(2n)=\left[ {{(2n)}^{2}}+1 \right]\left[ {{(2n)}^{2}}+2.2n+2 \right]=(4{{n}^{2}}+1)(4{{n}^{2}}+4n+2) \\  \Rightarrow \frac{f(2n-1)}{f(2n)}=\frac{4{{n}^{2}}-4n+2}{4{{n}^{2}}+4n+2}=\frac{{{(2n-1)}^{2}}+1}{{{(2n+1)}^{2}}+1} \\ \end{align}\)

 \(\begin{align}  {{u}_{n}}=\frac{f(1).f(3)...f(2n-1)}{f(2).f(4)...f(2n)}=\frac{f\left( 1 \right)}{f\left( 2 \right)}.\frac{f\left( 2 \right)}{f\left( 3 \right)}....\frac{f\left( 2n-1 \right)}{f\left( 2n \right)} \\  \,\,\,\,\,\,=\frac{{{1}^{2}}+1}{{{3}^{2}}+1}.\frac{{{3}^{2}}+1}{{{5}^{2}}+1}....\frac{{{(2n-1)}^{2}}+1}{{{(2n+1)}^{2}}+1}=\frac{2}{{{(2n+1)}^{2}}+1}=\frac{2}{4{{n}^{2}}+4n+2}=\frac{1}{2{{n}^{2}}+2n+1} \\ \end{align}\)

Xét hàm số \(g(x)={{\log }_{2}}x+x,\,\,\,x>0\,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,g'(x)=\frac{1}{x.\ln 2}+1>0,\,\,\forall x>0\Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên khoảng \((0;+\infty )\).

Khi đó: \({{\log }_{2}}{{u}_{n}}+u{{ }_{n}}<-\frac{10239}{1024}\Leftrightarrow {{\log }_{2}}{{u}_{n}}+u{{ }_{n}}<-10+\frac{1}{1024}={{\log }_{2}}\left( \frac{1}{1024} \right)+1024\Leftrightarrow g({{u}_{n}})<g\left( \frac{1}{1024} \right)\Leftrightarrow {{u}_{n}}<\frac{1}{1024}\)

\(\Leftrightarrow \frac{1}{2{{n}^{2}}+2n+1}<\frac{1}{1024}\Leftrightarrow 2{{n}^{2}}+2n+1>1024\Leftrightarrow 2{{n}^{2}}+2n-1023>0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  n>\frac{-1+\sqrt{2047}}{2}\approx 22,12 \\  n<\frac{-1-\sqrt{2047}}{2}\,\,<0\,\,(Loai) \\ \end{align} \right.\)

Vậy, số n nguyên dương nhỏ nhất là 23.  

Chọn: D