Cho biểu thức \(P=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}+\fra...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Phân tích các mẫu số thành nhân tử, quy đồng mẫu các phân số, biến đổi và rút gọn biểu thức.

+) Thay biểu thức P vừa rút gọn vào biểu thức Q.

+) Chứng minh \(Q\ge 6\) bằng cách biến đổi tương đương suy ra điều luôn đúng.

Giải chi tiết:

a)      Điều kiện: \(x\ge 0;\ \ x\ne 1.\)

\(\begin{align}  P=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}+\frac{-x+x\sqrt{x}+6}{x+\sqrt{x}-2}-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1} \\  =\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)-x+x\sqrt{x}+6-(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}+2)}{x+\sqrt{x}-2} \\  =\frac{x-\sqrt{x}-x+x\sqrt{x}+6-x-3\sqrt{x}-2}{x+\sqrt{x}-2}=\frac{x\sqrt{x}-x-4\sqrt{x}+4}{x+\sqrt{x}-2} \\  =\frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+2)}=\sqrt{x}-2 \\ \end{align}\)

b)      Điều kiện: \(x\ge 0;\ x\ne 1;\ x\ne 4.\)

Rút gọn Q ta thu được như sau:

\(\begin{align}  Q=\frac{(x+27)(\sqrt{x}-2)}{(\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-2)}=\frac{x+27}{\sqrt{x}+3}. \\  \Rightarrow Q\ge 6\Leftrightarrow x+27\ge 6\sqrt{x}+18\Leftrightarrow {{x}^{2}}-6x+9\ge 0\Leftrightarrow {{(\sqrt{x}-3)}^{2}}\ge 0 \\ \end{align}\)

Điều này luôn đúng, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 9.

Vậy ta có điều phải chứng minh.