Cho \(\Delta ABC\) vuông tại A, M là trung điểm củ...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Áp dụng định lý: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên.

Giải chi tiết:

Vì \(\Delta ABM \) vuông tại A (gt) nên \(BA < BM\) (quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên).

Mà \(BM = BD + DM \Rightarrow BA < BD + DM\left( 1 \right)\) .

Mặt khác, \(BM = BE - ME \Rightarrow BA < BE - ME\left( 2 \right)\)

Cộng hai vế của \(\left( 1 \right)\)và \(\left( 2 \right)\) ta được: \(2BA < BD + BE + MD - ME\left( 3 \right)\)

Vì M là trung điểm của AC (gt) \( \Rightarrow AM = MC\) (tính chất trung điểm)

Xét  tam giác vuông ADM và tam giác vuông CEM có:

\(AM = MC\left( {cmt} \right)\)

\(\widehat {AMD} = \widehat {EMC}\) (đối đỉnh)

\( \Rightarrow \Delta ADM = \Delta CEM\) (cạnh huyền – góc nhọn)

\( \Rightarrow MD = ME\left( 4 \right)\) (2 cạnh tương ứng)

Từ \(\left( 3 \right)\)và \(\left( 4 \right) \Rightarrow BD + BE > 2AB\)