Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 16cm, AC = 30...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Sử dụng định lý Py-ta-go để tính cạnh của tam giác vuông

+) Dựa vào đinh lý về tính chất ba đường trung tuyến của một tam giác để tính độ dài cạnh theo đề bài yêu cầu.

Giải chi tiết:

Gọi AD, BE, CF là các đường trung tuyến ứng với các cạnh BC, AC, AB của tam giác vuông ABC

Suy ra D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AC, AB.

\(\Rightarrow AE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\cdot 30=15\,cm\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\text{AF}=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\cdot 16=8\,cm\)

Áp dụng định lí Py-ta-go với tam giác ABE  vuông tại A ta có:

 \(\begin{align} & A{{B}^{2}}+A{{E}^{2}}=B{{E}^{2}}\Rightarrow {{16}^{2}}+{{15}^{2}}=B{{E}^{2}}\Rightarrow B{{E}^{2}}=481 \\& \Rightarrow BE=\sqrt{481}\,cm \\\end{align}\)

Áp dụng định lí Py-ta-go với tam giác AFC vuông tại A ta có:

 \(\begin{align}  & A{{F}^{2}}+A{{C}^{2}}=C{{F}^{2}}\,\,\Rightarrow {{8}^{2}}+{{30}^{2}}=C{{F}^{2}}\,\Rightarrow C{{F}^{2}}=964 \\ & \Rightarrow CF=2\sqrt{241}\,cm \\\end{align}\)

\(\Delta ABC\) vuông tại A nên theo định lí Py-ta-go ta có:

\(\begin{align}  & A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}=B{{C}^{2}}\,\,\Rightarrow {{16}^{2}}+{{30}^{2}}=B{{C}^{2}}\,\,\Rightarrow B{{C}^{2}}=1156 \\ & \Rightarrow BC=34\,cm \\\end{align}\)

Ta có tam giác ABC vuông tại A, AD là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên ta có:

\(\Rightarrow AD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}\cdot 34=17\,cm\)

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên:

          \(GA+GB+GC=\frac{2}{3}\left( AD+BE+CF \right)=\frac{2}{3}\left( 17+\sqrt{481}+2\sqrt{241} \right)\approx 46,65\,cm\).