Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(SD = x,\) tất cả các...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Xác đinh đường cao của hình chóp. Xác định góc giữa SD và mặt đáy bằng cách xác định góc giữa SD và hình chiếu của nó trên mặt ABCD.

- Gọi M là trung điểm của BC. Khi đó . Suy ra các tỉ số đồng dạng, tính các đoạn thẳng cần thiết để tìm được mối liên hệ giữa x và a.

Giải chi tiết:

Gọi \(O = AC \cap BD.\) Do tam giác \(SAC\) cân tại \(S\) nên \(SO \bot AC.\) Do \(ABCD\) là hình thoi nên \(AC \bot BD.\)

Từ đó ta có \(AC \bot \left( {SBD} \right).\) Từ \(S\) kẻ \(SH \bot BD \Rightarrow SH \bot AC \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right).\)

Khi đó ta có \(\left( {\widehat {SD,\left( {ABCD} \right)}} \right) = \widehat {SDH} = {30^0}.\)

Khi đó ta tính được \(SH = \dfrac{x}{2},\,\,HD = \dfrac{{x\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow BH = \sqrt {S{B^2} - S{H^2}}  = \sqrt {{a^2} - \dfrac{{{x^2}}}{4}}  = \dfrac{{\sqrt {4{a^2} - {x^2}} }}{2}\)

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC.\) Khi đó ta có \(BC \bot \left( {SMH} \right) \Rightarrow BC \bot HM\)

Gọi \(K\) là trung điểm của \(SB.\) Khi đó \(SB \bot \left( {AKC} \right) \Rightarrow KO = \dfrac{1}{2}BD = \dfrac{x}{2}.\) Do các tam giác SAB và SBC đều cạnh a nên \(AK = CK = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Áp dụng công thức đường trung tuyến ta có

\(\begin{array}{l}K{O^2} = \dfrac{{A{K^2} + K{C^2}}}{2} - \dfrac{{A{C^2}}}{4} \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}}}{4} = \dfrac{{\dfrac{{3{a^2}}}{4} + \dfrac{{3{a^2}}}{4}}}{2} - \dfrac{{A{C^2}}}{4} \Leftrightarrow \dfrac{{A{C^2}}}{4} = \dfrac{{3{a^2} - {x^2}}}{4} = O{C^2}\\ \Rightarrow B{O^2} = B{C^2} - O{C^2} = {a^2} - \dfrac{{3{a^2} - {x^2}}}{4} = \dfrac{{{a^2} + {x^2}}}{4} \Rightarrow BO = \dfrac{{\sqrt {{a^2} + {x^2}} }}{2}\end{array}\)

Dễ thấy 

\(\begin{array}{l}\Delta BMH \sim \Delta BOC\left( {g.g} \right) \Rightarrow \frac{{BH}}{{BC}} = \frac{{BM}}{{BO}}\\ \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {4{a^2} - {x^2}} }}{2}.\frac{{\sqrt {{a^2} + {x^2}} }}{2} = a\frac{a}{2}\\ \Leftrightarrow \left( {4{a^2} - {x^2}} \right)\left( {{a^2} + {x^2}} \right) = 4{a^4}\\ \Leftrightarrow 4{a^4} + 3{a^2}{x^2} - {x^4} = 4{a^4}\\ \Leftrightarrow 3{a^2} = {x^2} \Leftrightarrow x = a\sqrt 3 \end{array}\)

Chọn D.