Giải phương trình nghiệm nguyên \(16{x^4} - 8{y^4}...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xét tính chia hết của \(x,\,\,y,\,\,z,\,\,t,\,\,u\) với 2.

Tìm nghiệm tổng quát của phương trình rồi kết luận.

Giải chi tiết:

Giả sử \(\left( {{x_0};{y_0};{z_0};{t_0};u{}_0} \right)\) là một nghiệm của phương trình đã cho.

Khi đó \(16{x_0}^4 - 8{y_0}^4 + 4{z_0}^4 + 2{t_0}^4 = {u_0}^4\)(1)

        \(\begin{array}{l} \Rightarrow {u_0}^4 \vdots 2\\ \Rightarrow {u_0} \vdots 2\\ \Rightarrow {u_0} = 2{u_1}\end{array}\)

Thay \({u_0} = 2{u_1}\)vào phương trình (1) ta có

       \(\begin{array}{l}16{x_0}^4 - 8{y_0}^4 + 4{z_0}^4 + 2{t_0}^4 = 16{u_1}^4(2)\\ \Leftrightarrow 8{x_0}^4 - 4{y_0}^4 + 2{z_0}^4 + {t_0}^4 = 8{u_0}^4\\ \Rightarrow {t_0}^4 \vdots 2\\ \Rightarrow {t_0} \vdots 2\\ \Rightarrow {t_0} = 2{t_1}\end{array}\)

Tương tự ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 2{x_1}\\{y_0} = 2{y_1}\\{z_0} = 2{z_1}\end{array} \right.\)

Khi đó ta có phương trình \(16{x_1}^4 - 8{y_1}^4 + 4{z_1}^4 + 2{t_1}^4 = {u_1}^4 \Rightarrow \)\(\left( {{x_1};{y_1};{z_1};{t_1};u{}_1} \right)\) là nghiệm của phương trình ban đầu.

Chứng minh tương tự ta có \(\left( {\dfrac{{{x_0}}}{{{2^k}}};\dfrac{{{y_0}}}{{{2^k}}};\dfrac{{{z_0}}}{{{2^k}}};\dfrac{{{t_0}}}{{{2^k}}};\dfrac{{{u_0}}}{{{2^k}}}} \right)\,\,\,\forall k \in {\mathbb{Z}^ + }\) là nghiệm của phương trình đã cho\( \Leftrightarrow {x_0} = {y_0} = {z_0} = {t_0} = {u_0} = 0.\)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y;z;t;u} \right) = \left( {0;0;0;0;0} \right)\)