Cho tứ diện \(ABCD\) có tam giác \(ABD\) đều là cạ...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Dựng E sao cho ABCE là hình bình hành. Chứng minh \(d\left( {AB;CD} \right) = d\left( {M;\left( {CDE} \right)} \right)\).

+) Dựng khoảng cách từ M đến (CDE).

+) Áp dụng định lí Pytago trong các tam giác vuông tính CD.

Giải chi tiết:

Dựng E sao cho ABCE là hình bình hành như hình vẽ.

Ta có: AB // CE

\( \Rightarrow AB//\left( {CDE} \right) \supset CD \Rightarrow d\left( {AB;CD} \right) = d\left( {AB;\left( {CDE} \right)} \right) = d\left( {M;\left( {CDE} \right)} \right)\) với M là trung điểm của AB.

Gọi N là trung điểm của CE.

Tam giác ABD đều \( \Rightarrow MD \bot AB\)

ABCE là hình bình hành có \(\angle ABC = {90^0}\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow ABCE\) là hình chữ nhật. (dhnb)

\( \Rightarrow MN//\,BC,\,\,BC \bot AB \Rightarrow MN \bot AB\)

\( \Rightarrow AB \bot \left( {AND} \right) \Rightarrow CE \bot \left( {AND} \right)\)

Trong \(\left( {MND} \right)\) kẻ \(MH \bot DN\) ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}MH \bot DN\\MH \bot CE\end{array} \right. \Rightarrow MH \bot \left( {CDE} \right)\).

\( \Rightarrow d\left( {M;\left( {CDE} \right)} \right) = MH = \frac{{\sqrt {11} }}{2}\).

Tam giác ABD đều cạnh 2 \( \Rightarrow DM = \frac{{2\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 \).

Ta có \(MN = BC = \sqrt 3  \Rightarrow \Delta MND\) cân tại M \( \Rightarrow H\) là trung điểm của ND.

Xét tam giác vuông MNH có \(NH = \sqrt {M{N^2} - M{H^2}}  = \sqrt {3 - \frac{{11}}{4}}  = \frac{1}{2} \Rightarrow ND = 2NH = 1\).

Ta có \(CE \bot \left( {MND} \right) \Rightarrow CE \bot DN \Rightarrow \Delta CDN\) vuông tại N \( \Rightarrow CD = \sqrt {D{N^2} + C{N^2}}  = \sqrt {1 + 1}  = \sqrt 2 \).

Chọn D.