Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị của tham số \(m\)...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp xét hàm số đặc trưng.

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{\left( {x - 1} \right)^3} = 3{x^2} + 3\sqrt[3]{{3{x^2} + 3x + m}} + 3 + m\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^3} = 3{x^2} + 3x + m + 3\sqrt[3]{{3{x^2} + 3x + m}} - 3x + 3\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^3} + 3\left( {x - 1} \right) = 3{x^2} + 3x + m + 3\sqrt[3]{{3{x^2} + 3x + m}}\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {t^3} + 3t\) ta có \(f'\left( t \right) = 3{t^2} + 3 > 0\,\,\forall t \in \mathbb{R}\), do đó hàm số \(y = f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Mà theo (*) ta có \(f\left( {x - 1} \right) = f\left( {\sqrt[3]{{3{x^2} + 3x + m}}} \right) \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^3} = 3{x^2} + 3x + m \Leftrightarrow {x^3} - 6{x^2} - m - 1 = 0\).

Xét hàm số \(g\left( x \right) = {x^3} - 6{x^2} - m - 1\) ta có : \(g'\left( x \right) = 3{x^2} - 12x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow g\left( 0 \right) =  - m - 1\\x = 4 \Rightarrow g\left( 4 \right) =  - 33 - m\end{array} \right.\)

Để phương trình \(g\left( x \right) = 0\) có đúng 2 nghiệm thực thì hàm số \(y = g\left( x \right)\) có 2 cực trị thỏa mãn \({y_{CD}}.{y_{CT}} = 0 \Leftrightarrow \left( { - m - 1} \right)\left( { - 33 - m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  - 1\\m =  - 33\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow S = \left\{ { - 1; - 33} \right\}\). Vậy tổng các phần tử của S là \( - 1 - 33 =  - 34\).

Chọn D.