Cho hàm số \(y = {x^3} - 3m{x^2} + 6mx - 8\) có đồ...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Xét phương trình hoành độ giao điểm, tìm điều kiện để phương trình hoành độ giao điểm có 3 nghiệm phân biệt.

+) Sử dụng tính chất của cấp số nhân: \({u_{n - 1}}.{u_{n + 1}} = u_n^2\).

Giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm

\(\begin{array}{l}{x^3} - 3m{x^2} + 6mx - 8 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right) - 3mx\left( {x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left[ {{x^2} + \left( {2 - 3m} \right)x + 4} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\g\left( x \right) = {x^2} + \left( {2 - 3m} \right)x + 4 = 0\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Để đồ thị \(\left( C \right)\) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 2.

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  = {\left( {2 - 3m} \right)^2} - 16 > 0\\g\left( 2 \right) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9{m^2} - 12m - 12 > 0\\4 + 4 - 6m + 4 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m < \dfrac{{ - 2}}{3}\end{array} \right.\\m \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 2\\m < \dfrac{{ - 2}}{3}\end{array} \right.\).

Giả sử \({x_1},\,{x_2}\,\,\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\) là 2 nghiệm phân biệt của phương trình (*). Áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 3m - 2\\{x_1}{x_2} = 4\end{array} \right.\).

TH1: \({x_1},\,\,{x_2},\,\,2\) theo thứ tự lập thành cấp số nhân \( \Rightarrow 2{x_1} = x_2^2\).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{x_2^2}}{2} + {x_2} = 3m - 2\\\dfrac{{x_2^2}}{2}{x_2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = 2\\4 = 3m - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 2\,\,\left( {ktm} \right)\).

TH2: \({x_1},\,\,2,\,\,{x_2}\) theo thứ tự lập thành cấp số nhân \( \Leftrightarrow {x_1}{x_2} = 4\) (luôn đúng với mọi \(m > 2\) hoặc \(m < \dfrac{{ - 2}}{3}\)).

TH3: \(2;{x_1};{x_2}\) theo thứ tự lập thành cấp số nhân, tương tự TH1 ta tìm được \(m = 2\,\,\left( {ktm} \right)\).

Vậy kết hợp điều kiện đề bài \( \Rightarrow m \in \left[ { - 5;\dfrac{{ - 2}}{3}} \right) \cup \left( {2;5} \right] \Rightarrow \)có 8 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn A.