Tìm giá trị thực của tham số $m$ để đường thẳng \...

Tìm giá trị thực của tham số $m$ để đường thẳng $d:y = x - m + 2$ cắt đồ thị hàm số $y = \dfrac{{2x}}{{x - 1}}$ $\left( C \right)$ tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$ sao cho độ dài $AB$ ngắn nhất.

$m = - 3$

$m = 3$

$m = - 1$

$m = 1$

Đáp án

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Xét phương trình hoành độ giao điểm (*).

+) Tìm điều kiện để (*) có hai nghiệm phân biệt, áp dụng định lí Vi-ét.

+) Sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng $AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2}}$ .

Giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm: $x - m + 2 = \dfrac{{2x}}{{x - 1}}\,\,\left( {x \ne 1} \right)$ .

$\Leftrightarrow {x^2} - x + \left( { - m + 2} \right)x + m - 2 = 2x \Leftrightarrow g\left( x \right) = {x^2} - \left( {m + 1} \right)x + m - 2 = 0\,\,\left( * \right)$

Để đường thẳng $\left( d \right)$ cắt $\left( C \right)$ tại 2 điểm phân biệt $\Leftrightarrow pt\left( * \right)$ có 2 nghiệm phân biệt khác 1.

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\g\left( 1 \right) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 1} \right)^2} - 4\left( {m - 2} \right) > 0\\1 - \left( {m + 1} \right) + m - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 6m + 9 > 0\\1 - m - 1 + m - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 3} \right)^2} > 0\\ - 2 \ne 0\;\;\forall m \in \mathbb{R}\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ne 3.$

Gọi ${x_A},\,\,{x_B}$ là 2 nghiệm phân biệt của (*), áp dụng định lí Vi-ét ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} = m + 1\\{x_A}{x_B} = m - 2\end{array} \right.$ .

Ta có:

$\begin{array}{l}A{B^2} = {\left( {{x_B} - {x_A}} \right)^2} + {\left( {{y_B} - {y_A}} \right)^2} = {\left( {{x_B} - {x_A}} \right)^2} + {\left( {{x_B} - m + 2 - {x_A} + m - 2} \right)^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)^2} = 2\left[ {{{\left( {{x_A} + {x_B}} \right)}^2} - 4{x_A}{x_B}} \right] = 2\left[ {{{\left( {m + 1} \right)}^2} - 4\left( {m - 2} \right)} \right]\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2\left( {{m^2} + 2m + 1 - 4m + 8} \right) = 2\left( {{m^2} - 2m + 9} \right) = 2{\left( {m - 1} \right)^2} + 16 \ge 16\end{array}$