Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Số điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\)  là số nghiệm bội lẻ của phương trình \(f'\left( x \right) = 0.\)

+) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến \( \Leftrightarrow f'\left( x \right) \ge 0,\) bằng 0 tại hữu hạn điểm.

+) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến \( \Leftrightarrow f'\left( x \right) \le 0,\) bằng 0 tại hữu hạn điểm. 

Giải chi tiết:

Ta có: \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right){\left( {x - 1} \right)^{2018}}{\left( {x - 2} \right)^{2019}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 2\\x = 1\\x = 2\end{array} \right.\)

Trong đó \(x =  - 2,\;\;x = 2\) là hai nghiệm bội lẻ, \(x = 1\) là nghiệm bội chẵn

\( \Rightarrow x =  - 2;\;\;x = 2\) là hai điểm cực trị của hàm số, \(x = 1\) không là điểm cực trị.

\( \Rightarrow \) đáp án A sai.

Ta có: \(f'\left( x \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right){\left( {x - 1} \right)^{2018}}{\left( {x - 2} \right)^{2019}} \ge 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right){\left( {x - 2} \right)^{2019}} \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 2\\x \le  - 2\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \) hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right),\)  hàm số nghịch biến trên \(\left( { - 2;\;2} \right).\)

Chọn B.