Cho mạch điện xoay chiều \(RLC\) mắc nối tiếp, cuộ...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Công thức tính cảm kháng và dung kháng: \(\left\{ \begin{array}{l}{Z_L} = \omega L\\{Z_C} = \dfrac{1}{{\omega C}}\end{array} \right.\)

Hệ số công suất của đoạn mạch: \(\cos \varphi  = \dfrac{R}{Z} = \dfrac{R}{{\sqrt {{R^2} + {{\left( {{Z_L} - {Z_C}} \right)}^2}} }}\)

Sử dụng phương pháp chuẩn hoá số liệu.

Giải chi tiết:

+ Ta có: \(L = C{R^2} \Rightarrow \dfrac{L}{C} = {R^2} \Rightarrow {Z_L}.{Z_C} = {R^2}\)

+ Khi \(\omega  = {\omega _1} = 50\pi \,\left( {rad/s} \right)\)ta chuẩn hoá:

\(\left\{ \begin{array}{l}R = 1\\{Z_{L1}} = n\\{Z_{C1}} = \dfrac{1}{n}\end{array} \right. \Rightarrow \cos {\varphi _1} = \dfrac{1}{{\sqrt {1 + {{\left( {n - \dfrac{1}{n}} \right)}^2}} }}\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

+ Khi \(\omega  = {\omega _2} = 200\pi \,\left( {rad/s} \right) = 4{\omega _1}\) ta có :  

\(\left\{ \begin{array}{l}R = 1\\{Z_{L2}} = 4{Z_{L1}} = 4n\\{Z_{C2}} = \dfrac{{{Z_{C1}}}}{4} = \dfrac{1}{{4n}}\end{array} \right. \Rightarrow \cos {\varphi _2} = \dfrac{1}{{\sqrt {1 + {{\left( {4n - \dfrac{1}{{4n}}} \right)}^2}} }}\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

+ Từ (1) và (2) ta có :

\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{\sqrt {1 + {{\left( {n - \dfrac{1}{n}} \right)}^2}} }} = \dfrac{1}{{\sqrt {1 + {{\left( {4n - \dfrac{1}{{4n}}} \right)}^2}} }} \Rightarrow n = 0,5\\ \Rightarrow \cos {\varphi _1} = \cos {\varphi _1} = \dfrac{1}{{\sqrt {1 + {{\left( {0,5 - \dfrac{1}{{0,5}}} \right)}^2}} }} = \dfrac{2}{{\sqrt {13} }}\end{array}\)

Chọn D.