Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Dựng hình bình hành \(ACBD\). Chứng minh \(d\left( {AC;SB} \right) = d\left( {A;\left( {SBD} \right)} \right)\).

+) Dựng khoảng cách từ \(A\) đến \(\left( {SBD} \right)\).

Giải chi tiết:

Ta có \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow AB\) là hình chiếu của \(SB\) lên  \(\left( {ABC} \right)\).

\(\angle \left( {SB;\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {SB;AB} \right) = \angle SBA = {60^0}\).

Dựng hình bình hành \(ACBD\).

Ta có \(BD//AC \Rightarrow \left( {SBD} \right)//AC \Rightarrow d\left( {AC;SB} \right) = d\left( {AC;\left( {SBD} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SBD} \right)} \right)\).

Do tam giác \(ABC\) đều \( \Rightarrow AC = CB = AB = a\).

Mà \(AC = BD;\,\,CB = AD \Rightarrow AB = AD = BD = a \Rightarrow \Delta ABD\) đều cạnh \(a\).

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BD \Rightarrow AM \bot BD\) và \(AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AM\\BD \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAM} \right)\).

Trong \(\left( {SAM} \right)\) kẻ \(AH \bot SM \Rightarrow AH \bot BD\,\,\left( {BD \bot \left( {SAM} \right)} \right) \Rightarrow AH \bot \left( {SBD} \right)\).

\( \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBD} \right)} \right) = AH \Rightarrow d\left( {AC;SB} \right) = AH\).

Xét tam giác vuông \(SAB\) ta có \(SA = AB.\tan {60^0} = a\sqrt 3 \).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SAM\) ta có : \(AH = \frac{{SA.AM}}{{\sqrt {S{A^2} + A{M^2}} }} = \frac{{a\sqrt 3 .\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\sqrt {3{a^2} + \frac{{3{a^2}}}{4}} }} = \frac{{a\sqrt {15} }}{5}\).

Vậy \(d\left( {AC;SB} \right) = \frac{{a\sqrt {15} }}{5}\).

Chọn A.