Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt ẩn phụ, cô lập tham số m, đưa về bài toán tương giao

Giải chi tiết:

Ta có \(4{{\left( {{\log }_{2}}\sqrt{x} \right)}^{2}}-{{\log }_{\frac{1}{2}}}x+m=0\Leftrightarrow 4{{\left( \frac{1}{2}{{\log }_{2}}x \right)}^{2}}-{{\log }_{{{2}^{-\,1}}}}x+m=0\Leftrightarrow {{\left( {{\log }_{2}}x \right)}^{2}}+{{\log }_{2}}x+m=0.\)

Đặt \(t={{\log }_{2}}x,\) với \(x\in \left( 0;1 \right)\Rightarrow \)\(t<0.\) Khi đó \({{t}^{2}}+t+m=0\Leftrightarrow -\,m={{t}^{2}}+t=f\left( t \right).\) Xét hàm số \(f\left( t \right)={{t}^{2}}+t\) trên \(\left( -\,\infty ;0 \right),\) có \({f}'\left( t \right)=2t+1=0\Leftrightarrow t=-\frac{1}{2}.\)

Tính \(f\left( 0 \right)=0;\,\,f\left( -\,\frac{1}{2} \right)=-\,\frac{1}{4};\,\,\underset{t\,\to \,-\,\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( t \right)=+\,\infty \,\,\xrightarrow{{}}\)

Bảng biến thiên.

Do đó, để \(-\,m=f\left( t \right)\) có nghiệm thuộc khoảng \(\left( -\,\infty ;0 \right)\)\(\Leftrightarrow \,\,-\,m\ge -\frac{1}{4}\Leftrightarrow \,\,m\le \frac{1}{4}.\)

Chọn C