Với hình vuông \({{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{...

Câu hỏi: Với hình vuông \({{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}\) như hình vẽ bên, cách tô màu như phần gạch sọc được gọi là cách tô màu đẹp. Một nhà thiết kế tiến hành tô màu cho một hình vuông như hình bên, theo quy trình sau:Bước 1: Tô màu đẹp chp hình vuông \({{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}.\)Bước 2: Tô màu đẹp chp hình vuông \({{A}_{2}}{{B}_{2}}{{C}_{2}}{{D}_{2}}\) là hình vuông ở chính giữa khi chia hình vuông \({{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}\) thành 9 phần bằng nhau như hình vẽ.Bước 3: Tô màu đẹp chp hình vuông \({{A}_{3}}{{B}_{3}}{{C}_{3}}{{D}_{3}}\) là hình vuông ở chính giữa khi chia hình vuông \({{A}_{2}}{{B}_{2}}{{C}_{2}}{{D}_{2}}\) thành 9 phần bằng nhau như hình vẽ. Cứ tiếp tục như vậy, hỏi cần ít nhất bao nhiêu bước để tổng diện tích phần được tô màu chiếm nhiều hơn 49,99% diện tích hình vuông ban đầu ?

9 bước.

4 bước.

8 bước.

D 7 bước.

Đáp án

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Nhận thấy diện tích hình ở các bước tô màu chính là các số hạng của cấp số nhân, áp dụng công thức tính tổng của cấp số nhân để thực hiện yêu cầu bài toán

Giải chi tiết:

Dễ thấy, diện tích hình các bước tô chính là cấp số nhân với \({{u}_{1}}=\frac{4}{9},\) công bội \(q=\frac{1}{9}.\)

Áp dụng công thức tính tổng CSN, ta có \({{S}_{n}}=\frac{{{u}_{1}}\left( 1-{{q}^{n}} \right)}{1-q}=\frac{1}{2}\left( 1-\frac{1}{{{9}^{n}}} \right).\)

Yêu cầu bài toán \(\Leftrightarrow \,\,{{S}_{n}}>0,4999\Leftrightarrow \,\,1-\frac{1}{{{9}^{n}}}>0,9998\Leftrightarrow \,\,{{9}^{n}}>5000\Leftrightarrow \,\,n>{{\log }_{9}}5000\,\,\approx \,\,3,87.\)

Vậy cần ít nhất 4 bước để tổng diện tích phần được tô màu chiếm nhiều hơn 49,99% diện tích hình vuông ban đầu.

Chọn B

Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm

Đề thi thử THPT QG môn Toán THPT Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh - lần 2 - năm 2018 (có lời giải chi tiết)

↑