Cho khai triển \({{\left( 3-2x+{{x}^{2}} \right)}^...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng khai triển nhị thức Newton \({{\left( a+b \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{a}^{n-k}}{{b}^{k}}}\)

Hệ số \({{a}_{15}}\) là hệ số của số hạng chứa \({{x}^{3}}\). Tìm hệ số của số hạng chứa \({{x}^{3}}\).

Giải chi tiết:

Ta có \({{\left( 3-2x+{{x}^{2}} \right)}^{9}}=\sum\limits_{k=0}^{9}{C_{9}^{k}{{.3}^{9-k}}.{{\left( {{x}^{2}}-2x \right)}^{k}}}.\)

Hệ số \({{a}_{15}}\) thuộc số hạng \({{a}_{15}}{{x}^{3}}\) nên với \(k\ge 4\) thì sẽ không thỏa mãn.

Với \(k=2\Rightarrow C_{9}^{k}{{.3}^{9-k}}.{{\left( {{x}^{2}}-2x \right)}^{k}}=78732{{\left( {{x}^{2}}-2x \right)}^{2}}=78732\left( {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}} \right).\)

Với \(k=3\Rightarrow C_{9}^{k}{{.3}^{9-k}}.{{\left( {{x}^{2}}-2x \right)}^{k}}=61236{{\left( {{x}^{2}}-2x \right)}^{3}}=61236\left( {{x}^{6}}-3{{x}^{4}}.2x+3{{x}^{2}}.{{\left( 2x \right)}^{2}}-8{{x}^{3}} \right).\)

Do đó \({{a}_{15}}=78732.\left( -4 \right)+61236.\left( -8 \right)=-804816.\)

Chọn A.