Cho hàm số \(y=\frac{4x-3}{x-3}\) có đồ thị \(C\)....

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xác định các đường tiệm cận của đồ thị hàm số.

Gọi điểm M thuộc đồ thị hàm số \(\left( C \right)\), tính khoảng cách từ M đến các đường tiệm cận và sử dụng BĐT Cauchy tìm GTNN của biểu thức đó từ đó suy ra tọa độ các điểm M, N.

Tính độ dài MN.

Giải chi tiết:

TXĐ: \(D=R\backslash \left\{ 3 \right\}\)

Đồ thị hàm số có đường TCN \(y=4\,\,\left( {{d}_{1}} \right)\) và TCĐ \(x=3\,\,\left( {{d}_{2}} \right)\).

Gọi điểm \(M\in \left( C \right)\) có dạng \(M\left( a;\frac{4a-3}{a-3} \right)\) khi đó ta có:

\(\begin{align}d\left( M;{{d}_{2}} \right)=\left| a-3 \right|;\,\,d\left( M;{{d}_{1}} \right)=\left| \frac{4a-3}{a-3}-4 \right|=\frac{9}{\left| a-3 \right|} \\\Rightarrow d\left( M;{{d}_{2}} \right)+d\left( M;{{d}_{1}} \right)=\left| a-3 \right|+\frac{9}{\left| a-3 \right|}\ge 2\sqrt{9}=3 \\\end{align}\)

Dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow \left| a-3 \right|=\frac{9}{\left| a-3 \right|}\Leftrightarrow {{\left( a-3 \right)}^{2}}=9\Leftrightarrow \left[ \begin{align}a=6 \\a=0 \\\end{align} \right.\)

\(\Rightarrow M\left( 6;7 \right),\,\,N\left( 0;1 \right)\Rightarrow MN=\sqrt{{{6}^{2}}+{{6}^{2}}}=6\sqrt{2}\)

Chọn C.