Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Sử dụng phương trình mặt chắn lập pt\(\left( {ABC} \right)\).

+) Lập phương trình \(SH\).

+) Xác định \(H = SH \cap \left( {ABC} \right)\).

+) Lập phương trình mặt phẳng \(\left( {SBH} \right)\) qua 3 điểm \(S,\,\,B,\,\,H\) đã biết.

Giải chi tiết:

Phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right):\,\,\dfrac{x}{{ - 2}} + \dfrac{y}{3} + \dfrac{z}{6} = 1 \Leftrightarrow  - 3x + 2y + z - 6 = 0\).

Gọi \(d\) là đường thẳng qua \(S\) và vuông góc với \(\left( {ABC} \right)\) suy ra \(d:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 - 3t\\y = 6 + 2t\\z = 2 + t\end{array} \right.\).

Ta có \(SH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow H \in d \Rightarrow H\left( { - 1 - 3t;6 + 2t;2 + t} \right)\)

\(\begin{array}{l}H \in \left( {ABC} \right) \Rightarrow  - 3\left( { - 1 - 3t} \right) + 2\left( {6 + 2t} \right) + \left( {2 + t} \right) - 6 = 0\\ \Leftrightarrow 14t + 11 = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{{ - 11}}{{14}} \Rightarrow H\left( {\dfrac{{19}}{{14}};\dfrac{{62}}{{14}};\dfrac{{17}}{{14}}} \right)\end{array}\)

Ta có : 

\(\left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {SB} = \left( {1; - 3; - 2} \right)\\
\overrightarrow {BH} = \left( {\frac{{19}}{{14}};\frac{{20}}{{14}};\frac{{17}}{{14}}} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {SB} ;\overrightarrow {BH} } \right] = \left( {\frac{{ - 11}}{{14}};\frac{{ - 55}}{{14}};\frac{{77}}{{14}}} \right)//\left( {1;5; - 7} \right)\)

\( \Rightarrow \left( {SBH} \right)\) đi qua \(B\left( {0;3;0} \right)\) và nhận \(\overrightarrow n  = \left( {1;5;-7} \right)\) là 1 VTPT.

\( \Rightarrow pt\left( {SBH} \right):\,\,1\left( {x - 0} \right)+5\left( {y - 3} \right) -7\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow x+5y - 7z-15= 0\) .

Chọn C.