Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+ Xác định tọa độ điểm B

+ Do M nằm trong mặt phẳng (P) luôn nhìn đoạn AB dưới một góc vuông nên M di chuyển trên đường tròn giao tuyến (C) của mặt cầu đường kính AB và (P)

+ Độ dài MB lớn nhất khi và chỉ khi MB là đường kính của đường tròn (C).

Giải chi tiết:

Đường thẳng \(\Delta \)đi qua A và vuông góc với mặt phẳng \(\left( Q \right):3x + 4y - 4z + 5 = 0\) có phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = 2 + 4t\\z =  - 3 - 4t\end{array} \right.\)

Giả sử \(B\left( {1 + 3t;2 + 4t; - 3 - 4t} \right)\), do \(B \in \left( P \right):2x + 2y - z + 9 = 0 \Rightarrow 2.\left( {1 + 3t} \right) + 2.\left( {2 + 4t} \right) - \left( { - 3 - 4t} \right) + 9 = 0\)

\( \Leftrightarrow 18t + 18 = 0 \Leftrightarrow t =  - 1\)\( \Rightarrow B\left( { - 2; - 2;1} \right)\)

Do M nằm trong mặt phẳng (P) luôn nhìn đoạn AB dưới một góc vuông nên M di chuyển trên đường tròn giao tuyến (C) của mặt cầu đường kính AB và (P).

Gọi I là trung điểm của AB \( \Rightarrow I\left( { - \dfrac{1}{2};0; - 1} \right)\), \(IB = \sqrt {{{\left( {\dfrac{3}{2}} \right)}^2} + {2^2} + {2^2}}  = \dfrac{{\sqrt {41} }}{2}\)

Khi đó, tâm O của đường tròn giao tuyến (C) là hình chiếu vuông góc của I lên (P)

Có: \(OI = d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {2.\dfrac{{ - 1}}{2} + 2.0 - \left( { - 1} \right) + 9} \right|}}{{\sqrt {4 + 4 + 1} }} = 3\)

Độ dài MB lớn nhất khi và chỉ khi MB là đường kính của đường tròn (C) \( \Leftrightarrow O\) là trung điểm của MB

\( \Rightarrow MB = 2.OB = 2\sqrt {I{B^2} - O{I^2}}  = 2\sqrt {\dfrac{{41}}{4} - 9}  = \sqrt 5 \).

Chọn: A