Tìm tổng \(S = 1 + {2^2}{\log _{\sqrt 2 }}2 + {3^2...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

\({\log _{{a^c}}}b = \dfrac{1}{c}{\log _a}b,\,\,\,\,{\log _a}{b^c} = c{\log _a}b\)  (Giả sử các biểu thức là có nghĩa).

Giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}S = 1 + {2^2}{\log _{\sqrt 2 }}2 + {3^2}{\log _{\sqrt[3]{2}}}2 + {4^2}{\log _{\sqrt[4]{2}}}2 + ... + {2017^2}{\log _{\sqrt[{2017}]{2}}}2\\\,\,\,\, = 1 + {2^2}.2.{\log _2}2 + {3^2}.3{\log _2}2 + {4^2}.4.{\log _2}2 + ... + {2017^2}.2017.{\log _2}2\\\,\,\,\, = 1 + {2^3} + {3^3} + {4^3} + ... + {2017^3}\end{array}\)

Bằng quy nạp, ta chứng minh được:  \(1 + {2^3} + {3^3} + {4^3} + ... + {n^3} = \dfrac{{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{4},\,\,\forall n \in {N^*}\)

Áp dụng với \(n = 2017\), ta có: \(S = 1 + {2^3} + {3^3} + {4^3} + ... + {2017^3} = \dfrac{{{{2017}^2}{{.2018}^2}}}{4} = {1009^2}{.2017^2}\).

Chọn C.