Xét khối tứ diện \(ABCD\) có cạnh \(AB = x\) và cá...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Tính thể tích của tứ diện theo x và chứng minh bất đẳng thức

Giải chi tiết:

Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, CD

∆ ACD và ∆ BCD đều nên AN ⊥ CD, BN ⊥ CD

⇒ CD ⊥ (ABN)

\( \Rightarrow {V_{ABCD}} = {V_{ABCN}} + {V_{ABND}} = \dfrac{1}{3}\left( {CN + ND} \right){S_{ABN}} = \dfrac{1}{3}CD.{S_{ABN}}\)

Ta có \(AN = BN = AC.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = 3\) nên ∆ ABN cân tại N ⇒ MN ⊥ AB

\( \Rightarrow {S_{ABN}} = \dfrac{1}{2}AB.MN = \dfrac{1}{2}x.\sqrt {9 - \dfrac{{{x^2}}}{4}} \). Áp dụng bất đẳng thức \(ab \le \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2}\) ta có

\({S_{ABN}} \le \dfrac{{\dfrac{{{x^2}}}{4} + 9 - \dfrac{{{x^2}}}{4}}}{2} = \dfrac{9}{2}\)

Dấu “=” xảy ra ⇔\(\dfrac{{{x^2}}}{4} = 9 - \dfrac{{{x^2}}}{4} \Leftrightarrow {x^2} = 18 \Leftrightarrow x = 3\sqrt 2 \)

Chọn C