Trong không gian \(Oxyz,\) cho mặt cầu \(\left( S...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(A\) bán kính \(R\) theo giao tuyến là một đường tròn tâm \(I\) bán kính \(r.\)

Khi đó \({R^2} = {r^2} + {d^2}\) với \(d = d\left( {A;\left( P \right)} \right)\)

Để tìm tọa độ điểm \(I\) ta làm như sau:

+ Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\) và nhận \(\overrightarrow {{n_P}} \) làm VTCP

+ Điểm \(I\) chính là giao điểm của đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \(\left( P \right).\) Giải hệ \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta \\\left( P \right)\end{array} \right.\)  ta tìm được tọa độ điểm \(I.\)

Giải chi tiết:

Mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 8y + 2z + 1 = 0\) có tâm \(A\left( { - 2;4; - 1} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {4^2} + {1^2} - 1}  = 2\sqrt 5 \)

Ta có \(d\left( {A;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| { - 2.2 + 4 + 3.\left( { - 1} \right) - 3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {3^2}} }} = \dfrac{6}{{\sqrt {14} }}\)

Bán kính đường tròn giao tuyến là \(r = \sqrt {{R^2} - {d^2}}  = \sqrt {20 - \dfrac{{36}}{{14}}}  = \dfrac{{\sqrt {854} }}{7}\)

Đường thẳng  \(\Delta \) đi qua \(A\left( { - 2;4; - 1} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {2;1;3} \right)\) làm VTCP có phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 + 2t\\y = 4 + t\\z =  - 1 + 3t\end{array} \right.\)

Tọa độ tâm \(I\) là ngiệm của hệ phương trình

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 + 2t\\y = 4 + t\\z =  - 1 + 3t\\2x + y + 3z - 3 = 0\end{array} \right. \Rightarrow 2\left( { - 2 + 2t} \right) + 4 + t + 3\left( { - 1 + 3t} \right) - 3 = 0 \Leftrightarrow 14t = 6\\ \Leftrightarrow t = \dfrac{3}{7} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{8}{7}\\y = \dfrac{{31}}{7}\\z = \dfrac{2}{7}\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {\dfrac{{ - 8}}{7};\dfrac{{31}}{7};\dfrac{2}{7}} \right)\end{array}\) 

Vậy đường tròn giao tuyến có tâm \(I\left( { - \dfrac{8}{7};\dfrac{{31}}{7};\dfrac{2}{7}} \right)\)và \(r = \dfrac{{\sqrt {854} }}{7}\)

Chọn C