Cho hình chóp \(SABC\) có \(SA =...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Công thức tính thể tích khối chóp là: \(V = \dfrac{1}{3}Sh.\)

Giải chi tiết:

Gọi \(O\) là trọng tâm \(\Delta ABC \Rightarrow SO \bot \left( {ABC} \right).\)

Ta có: \({V_{SABC}} = \dfrac{1}{3}SO.{S_{ABC}} \Leftrightarrow \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3} = \dfrac{1}{3}.SO.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} \Leftrightarrow SO = 4a.\)

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC \Rightarrow AM \bot BC\)

Kẻ \(MN \bot SA.\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AM\\BC \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BC \bot MN.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}MN \bot SA\\MN \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow d\left( {BC,\;SA} \right) = MN.\)

 Áp dụng định lý Pi-ta-go ta có: \(SA = \sqrt {S{O^2} + A{O^2}}  = \sqrt {16{a^2} + {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}}  = \dfrac{{7a\sqrt 3 }}{3}.\)

Có: \(2{S_{SAM}} = MN.SA = SO.AM \Rightarrow MN = \dfrac{{SO.AM}}{{SA}} = \dfrac{{4a.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\dfrac{{7a\sqrt 3 }}{3}}} = \dfrac{{6a}}{7}.\)

Chọn A.