Cho hàm số \(y = f(x)\). Hàm số \(y = f'(x)\)có đồ...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Sử dụng công thức tính đạo hàm hàm hợp để tính y’.

+) Giải phương trình \(y' = 0\).

Giải chi tiết:

Ta có: \(y = f\left( {{x^2} + m} \right) \Rightarrow y' = 2x.f'\left( {{x^2} + m} \right)\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\f'\left( {{x^2} + m} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} + m = 0\\{x^2} + m = 3\end{array} \right.\) (do tại \(x = 1\) ta có\(y = f'(x)\) không đổi dấu) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} =  - m\\{x^2} = 3 - m\end{array} \right.\)

+) \(m = 0\) ta có \(y' = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  \pm \sqrt 3 \end{array} \right.\)

\(y' = 0\) tại 3 điểm \(x = 0,\,\,x = \sqrt 3 ,\,\,x =  - \sqrt 3 \) và đổi dấu tại 3 điểm này \( \Rightarrow m = 0\) thỏa mãn

+) \(m = 3\) ta có \(y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\)\( \Rightarrow m = 3\) không thỏa mãn

+) \(m < 0\)

\(y' = 0\) có 5 nghiệm phân biệt \(x = 0,\,x =  \pm \sqrt { - m} ,\,\,\,x =  \pm \sqrt {3 - m} \)

Hàm số có 5 cực trị \( \Rightarrow \) Loại các giá trị \(m < 0\).

+) \(m > 3\)

Phương trình \(y' = 0\) có 1 nghiệm duy nhất \(x = 0\) và đổi dấu tại 1 điểm duy nhất \(x = 0\) \( \Rightarrow \) Loại các giá trị \(m > 3\)

+) \(0 < m < 3\)

\(y' = 0\) có 3 nghiệm phân biệt \(x = 0,\,\,\,x =  \pm \sqrt {3 - m} \)

Hàm số có 3 cực trị \(x = 0,\,\,\,x =  \pm \sqrt {3 - m} \)\( \Rightarrow \) Các giá trị \(0 < m < 3\) thỏa mãn

Mà \(m \in Z \Rightarrow m \in \left\{ {1;2} \right\}\)

Kết luận: Để hàm số \(y = f({x^2} + m)\) có \(3\) điểm cực trị thì \(m \in \left\{ {0;1;2} \right\}\): có 3 giá trị m thỏa mãn.

Chọn: A