Có 37 cây táo có số trái bằng nhau, 17 trái hỏng ,...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Gọi a là số trái của mỗi cây táo (\(a \in {\mathbb{N}^*}\)) và b là số trái táo của mỗi người (\(b \in {\mathbb{N}^*}\)).

+) Lập phương trình thể hiện mối quan hệ giữa a và b.

+) Rút a theo b, dựa vào giả thiết \(a,b \in {\mathbb{N}^*}\) biện luận tìm a, b. Dựa vào điều kiện chia hết.

Giải chi tiết:

Gọi a là số trái của mỗi cây táo (\(a \in {\mathbb{N}^*}\))

Gọi b là số trái táo của mỗi người (\(b \in {\mathbb{N}^*}\))

Ta có phương trình:    \(37a - 17 = 79b\)  (1) \( \Leftrightarrow a = \dfrac{{79b + 17}}{{37}} = 2b + \dfrac{{5b + 17}}{{37}}\)

Mà \(a,b \in {\mathbb{N}^*} \Rightarrow \dfrac{{5b + 17}}{{37}} = c \in {\mathbb{N}^*} \Rightarrow b = \dfrac{{37c - 17}}{5} = 7c - 3 + \dfrac{{2\left( {c - 1} \right)}}{5}\)

Lại có\(b,c \in {\mathbb{N}^*} \Rightarrow 2\left( {c - 1} \right)\,\, \vdots \,\,5 \Leftrightarrow c = 5d + 1,\,\,d \in \mathbb{N}\)

Do đó ta có: 7\(\left\{ \begin{array}{l}a = 9 + 79d\\b = 4 + 37d\end{array} \right.\)

Mà \(a,b > 0 \Rightarrow d \ge 0 \Rightarrow a \ge 9\)

Nên \(a\) đạt giá trị nhỏ nhất là 9 khi \(d = 0\)

Vậy số trái ít nhất của mỗi cây táo là 9 trái.