Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có \(A\lef...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Tam giác ABC có trung tuyến BM và phân giác CD.

+) Tham số hóa tọa độ điểm M là trung điểm của AC, tìm tọa độ điểm C theo tọa độ điểm M.

+) \(C\in CD\Rightarrow \) Tọa độ điểm C.

+) Tìm tọa độ điểm N đối xứng với M qua CD \(\Rightarrow N\in BC\Rightarrow \) Phương trình đường thẳng BC.

+) Tìm tọa độ điểm \(B=BM\cap BC\), khi đó mọi vector cùng phương với \(\overrightarrow{AB}\) đều là VTCP của AB. 

Giải chi tiết:

Tam giác ABC có trung tuyến BM và phân giác CD.

Gọi \(M\left( 3-t;3+2t;2-t \right)\in BM\) là trung điểm của AC ta có \(C\left( 4-2t;3+4t;1-2t \right)\in CD\). \(\Rightarrow \frac{2-2t}{2}=\frac{-1+4t}{-1}=\frac{-1-2t}{-1}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 2-2t=2-4t \\ & 2-2t=2+4t \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow t=0\) \(\Rightarrow M\left( 3;3;2 \right);\,\,C\left( 4;3;1 \right)\)

Gọi H là hình chiếu của M trên CD ta có \(H\left( 2+2t;4-t;2-t \right)\Rightarrow \overrightarrow{MH}=\left( -1+2t;1-t;-t \right)\) \(\overrightarrow{MH}\bot \overrightarrow{{{u}_{CD}}}\Rightarrow 2\left( -1+2t \right)-1+t+t=0\Leftrightarrow 6t=3\Leftrightarrow t=\frac{1}{2}\Rightarrow H\left( 3;\frac{7}{2};\frac{3}{2} \right)\)

Gọi N là điểm đối xứng với M qua CD \(\Rightarrow H\) là trung điểm của MN \(\Rightarrow N\left( 3;4;1 \right)\Rightarrow \overrightarrow{CN}=\left( -1;1;0 \right)\)

Do CD là phân giác của góc C nên \(N\in BC\), do đó phương trình đường thẳng CB là \(\left\{ \begin{align} & x=4-t' \\ & y=3+t' \\ & z=1 \\ \end{align} \right.\) Ta có \(B=BM\cap CB.\)

Xét hệ phương trình 

\(\left\{ \begin{array}{l}
3 - t = 4 - t'\\
3 + 2t = 3 + t'\\
2 - t = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
t = 1\\
t' = 2
\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {2;5;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( {0;2; - 2} \right) = 2\left( {0;1; - 1} \right)\)

Vậy \(\overrightarrow{{{u}_{4}}}\left( 0;1;-1 \right)\) là 1 VTCP của AB.

Chọn C.