Tìm số phức z thỏa mãn \(\left| {z - 3} \right| =...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt \(z = a + bi\).

Số phức z là số thực khi và chỉ khi Imz = 0.

Giải chi tiết:

Giả sử \(z = a + bi.\) Khi đó ta có 

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\left| {z - 3} \right| = \left| {z - 1} \right|\\{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left[ {\left( {z + 2} \right)\left( {\overline z  - i} \right)} \right] = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left| {z - 3} \right|^2} = {\left| {z - 1} \right|^2}\\{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left[ {\left( {z + 2} \right)\left( {\overline z  - i} \right)} \right] = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left| {\left( {a + bi} \right) - 3} \right|^2} = {\left| {a + bi - 1} \right|^2}\\{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left[ {\left( {a + bi + 2} \right)\left( {\overline {a + bi}  - i} \right)} \right] = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left| {\left( {a + bi} \right) - 3} \right|^2} = {\left| {a - 1 + bi} \right|^2}\\{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left[ {\left( {a + 2 + bi} \right)\left( {a - \left( {b + 1} \right)i} \right)} \right] = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - 3} \right)^2} + {b^2} = {(a - 1)^2} + {b^2}\\{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left[ {\left( {\left( {a + 2} \right)a + b\left( {b + 1} \right)} \right) - i\left( {\left( {a + 2} \right)\left( {b + 1} \right) - ab} \right)} \right] = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} - 6a + 9 = {a^2} - 2{\rm{a}} + 1\\a + 2b + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b =  - 2\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(z = a + bi = 2 - 2i.\)

Chọn C.