Tìm giá trị của tham số m để phương...

C

- Hướng dẫn giải

Đáp án C

Phương trình 

$$\begin{gathered} \left(\sin x-1\right)\left({\cos }^{2}x-\cos x+m\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}\sin x=1\\ m=\cos x-{\cos }^{2}x\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \left(1\right)\\ m=\cos x-{\cos }^{2}x\left(2\right)\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vì $x\in \left[0;2\pi \right]$ nên

$0\le \frac{\pi }{2}+k2\pi \le 2\pi \iff -\frac{1}{4}\le k\le \frac{3}{4}\Rightarrow k=0\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}$

Để phương trình đã cho có 5 nghiệm thuộc đoạn $\left[0;2\pi \right]\iff \left(2\right)$ có 4 nghiệm phân biệt thuộc $\left[0;2\pi \right]$

Đặt $t=\cos x\in \left[-1;1\right]$, khi đó $\left(2\right)\iff t^2-t+m=0$ có 2 nghiệm phân biệt $t_1,t_2$ thỏa mãn $-1<t_1;t_2<1$

$\iff \left\{\begin{array}{l}\left(t_1+1\right)\left(t_2+1\right)>0\\ \left(t_1-1\right)\left(t_2-1\right)>0\\ \Delta ={\left(-1\right)}^2-4m>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{t}_1{t}_2+t_1+t_2+1>0\\ t_1{t}_2-\left(t_1+t_2\right)+1>0\\ -4m-1<0\end{array}\right.\iff 0<m<\frac{1}{4}$

Vậy $m\in \left(0;\frac{1}{4}\right)$