Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình v...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đưa về khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.

Giải chi tiết:

Gọi I, E lần lượt là trung điểm của SC, OC

Dựng OJ vuông góc IE, (J thuộc IE)

IK là đường trung bình của tam giác SBC

\( \Rightarrow IK//SB\,\,\, \Rightarrow SB//\left( {IHK} \right)\)

\( \Rightarrow d\left( {SB;HK} \right) = d\left( {SB;\left( {IHK} \right)} \right) = d\left( {B;\left( {IHK} \right)} \right)\)

Lại có: \(BO//HK \Rightarrow d\left( {B;\left( {IHK} \right)} \right) = d\left( {O;\left( {IHK} \right)} \right)\)

Ta có:  \(HK//BD\), mà \(BD \bot SA,\,\,BD \bot AC\) (do ABCD là hình vuông)

\( \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right)\,\, \Rightarrow HK \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow HK \bot OJ\)

Mà \(IE \bot OJ \Rightarrow OJ \bot \left( {IHK} \right) \Rightarrow d\left( {O;\left( {IHK} \right)} \right) = OJ\)

* Tính OJ:

\(OE = \dfrac{1}{2}OC = \dfrac{1}{4}AC = \dfrac{1}{4}.a\sqrt 2  = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{4}\); \(OI = \dfrac{1}{2}SA = \dfrac{1}{2}.2a = a\)

Tam giác OIE vuông tại O, OJ vuông góc IE \( \Rightarrow \dfrac{1}{{O{J^2}}} = \dfrac{1}{{O{I^2}}} + \dfrac{1}{{O{E^2}}} = \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{\dfrac{{{a^2}}}{8}}} = \dfrac{9}{{{a^2}}} \Rightarrow OJ = \dfrac{a}{3}\) \( \Rightarrow d\left( {SB;HK} \right) = \dfrac{a}{3}\).

Chọn: A