Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \(A\left(...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Gọi điểm \(I\left( {a;b;c} \right)\) thỏa mãn \(\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  - \overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0 \), sử dụng các công thức cộng trừ vectơ xác định điểm I.

+) Phân tích \(\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  - \overrightarrow {MC} } \right|\) bằng cách chèn điểm I, đánh giá và tìm GTNN của \(\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  - \overrightarrow {MC} } \right|\).

Giải chi tiết:

Gọi điểm \(I\left( {a;b;c} \right)\) thỏa mãn \(\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  - \overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0 \).

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {IA}  = \left( { - 3 - a; - b; - c} \right)\\\overrightarrow {IB}  = \left( { - a; - b;3 - c} \right)\\\overrightarrow {IC}  = \left( { - a; - 3 - b; - c} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  - \overrightarrow {IC}  = \left( { - 3 - a;3 - b;3 - c} \right) = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 - a = 0\\3 - b = 0\\3 - c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 3\\b = 3\\c = 3\end{array} \right. \Rightarrow I\left( { - 3;3;3} \right)\)

Ta có \(\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  - \overrightarrow {MC} } \right| = \left| {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB}  - \overrightarrow {MI}  - \overrightarrow {IC} } \right| = \left| {\overrightarrow {MI}  + \left( {\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  - \overrightarrow {IC} } \right)} \right| = \left| {\overrightarrow {MI} } \right| = MI\)

Do đó \(\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  - \overrightarrow {MC} } \right|\) nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất \( \Rightarrow \) M là hình chiếu của I trên \(\left( P \right)\).

Ta thấy \( - 3 + 3 + 3 - 3 = 0 \Rightarrow I \in \left( P \right) \Rightarrow \) Hình chiếu của I trên \(\left( P \right)\) là chính nó. Do đó \(M \equiv I \Rightarrow M\left( { - 3;3;3} \right)\).

Chọn C.