Tìm tất cả các giá trị của tam số \(m\) để hàm số...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Tìm TXĐ

Tính \(y'\)

Để hàm số nghịch biến trên  \(\left( {a;b} \right)\) thì \(y' \le 0\) với \(\forall x \in \left( {a;b} \right)\) (dấu “=” xảy ra tại hữu hạn điểm)

Cô lập \(m\) đưa về dạng \(m \ge g\left( x \right)\) với \(\forall x \in \left( {a;b} \right)\)suy ra \(m \ge \mathop {\max }\limits_{\left( {a;b} \right)} g\left( x \right)\)

Giải chi tiết:

Ta có hàm số \(y = 1 - mx - \left( {x + 1} \right){e^{1 - x}}\) xác định trên \(\left( {\dfrac{1}{e};e} \right)\)

Tính \(y' =  - m - {e^{1 - x}} + \left( {x + 1} \right){e^{1 - x}} =  - m + x{e^{1 - x}}\)

Để hàm số đã cho nghịch biến trên \(\left( {\dfrac{1}{e};e} \right)\) thì \(y' =  - m + x{e^{1 - x}} \le 0;\,\forall x \in \left( {\dfrac{1}{e};e} \right)\)

Ta có \( - m + x{e^{1 - x}} \le 0 \Leftrightarrow m \ge x{e^{1 - x}}\) với \(\forall x \in \left( {\dfrac{1}{e};e} \right).\)

Xét hàm số \(g\left( x \right) = x{e^{1 - x}}\) trên \(\left( {\dfrac{1}{e};e} \right)\) ta có \(g'\left( x \right) = {e^{1 - x}} - x{e^{1 - x}} = \left( {1 - x} \right){e^{1 - x}} = 0 \Leftrightarrow x = 1 \in \left( {\dfrac{1}{e};e} \right)\)

BBT của \(g\left( x \right)\) trên \(\left( {\dfrac{1}{e};e} \right)\)

Từ BBT ta thấy \(\mathop {\max }\limits_{\left( {\dfrac{1}{e};e} \right)} g\left( x \right) = g\left( 1 \right) = 1\) nên để \(m \ge x{e^{1 - x}}\) với \(\forall x \in \left( {\dfrac{1}{e};e} \right)\) thì \(m \ge \mathop {\max }\limits_{\left( {\dfrac{1}{e};e} \right)} g\left( x \right) \Leftrightarrow m \ge 1.\)
Chọn D.