Gọi \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hà...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Tính nguyên hàm bằng phương pháp đặt ẩn phụ \(t = \sqrt {8 - {x^2}} \).

+) Từ giả thiết \(F\left( 2 \right) = 0\), tìm hằng số C.

+) Giải phương trình dạng \(\sqrt {f\left( x \right)}  = g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}g\left( x \right) \ge 0\\f\left( x \right) = {g^2}\left( x \right)\end{array} \right.\).

Giải chi tiết:

\(F\left( x \right) = \int\limits_{}^{} {\dfrac{{xdx}}{{\sqrt {8 - {x^2}} }}} \)

Đặt \(t = \sqrt {8 - {x^2}}  \Leftrightarrow {t^2} = 8 - {x^2} \Leftrightarrow tdt =  - xdx\)

Khi đó ta có: \(F\left( x \right) = \int\limits_{}^{} {\dfrac{{ - tdt}}{t}}  =  - \int\limits_{}^{} {dt}  =  - t + C =  - \sqrt {8 - {x^2}}  + C\).

\(\begin{array}{l}F\left( 2 \right) = 0 \Leftrightarrow  - \sqrt {8 - {2^2}}  + C = 0 \Leftrightarrow  - 2 + C = 0 \Leftrightarrow C = 2\\ \Rightarrow F\left( x \right) =  - \sqrt {8 - {x^2}}  + 2\\F\left( x \right) = x \Leftrightarrow  - \sqrt {8 - {x^2}}  + 2 = x\\ \Leftrightarrow \sqrt {8 - {x^2}}  = 2 - x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 - x \ge 0\\8 - {x^2} = {x^2} - 4x + 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\2{x^2} - 4x - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\\left[ \begin{array}{l}x = 1 + \sqrt 3 \\x = 1 - \sqrt 3 \end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1 - \sqrt 3 \end{array}\)   

Chọn A.