Cho các số thực \(a,b\) thỏa mãn \(0 < b < a...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức

\(\begin{array}{l}{\log _a}\left( {xy} \right) = {\log _a}x + {\log _a}y\,\,\left( {x,y > 0,\,\,0 < a \ne 1} \right)\\{\log _{{a^n}}}{b^m} = \dfrac{m}{n}{\log _a}b\,\,\left( {0 < a \ne 1,\,\,b > 0} \right)\end{array}\)

Đặt \(t = {\log _b}a\), xét hàm số \(f\left( t \right)\), lập BBT và tìm GTNN.

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}P =  - 3{\log _{{a^4}}}\dfrac{a}{b} + \log _b^2\left( {ab} \right) =  - \dfrac{3}{4}{\log _a}\dfrac{a}{b} + {\left( {{{\log }_b}a + {{\log }_b}b} \right)^2}\\ =  - \dfrac{3}{4}\left( {1 - {{\log }_a}b} \right) + {\left( {{{\log }_b}a + 1} \right)^2} =  - \dfrac{3}{4} + \dfrac{3}{{4{{\log }_b}a}} + \log _b^2a + 2{\log _b}a + 1\\ = \log _b^2a + 2{\log _b}a + \dfrac{3}{{4{{\log }_b}a}} + \dfrac{1}{4}\end{array}\)

Đặt \(t = {\log _b}a < {\log _b}b = 1\) ta có \(P = {t^2} + 2t + \dfrac{3}{{4t}} + \dfrac{1}{4} = f\left( t \right)\)

Ta có \(f'\left( t \right) = 2t + 2 - \dfrac{3}{{4{t^2}}} = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{8{t^3} + 8{t^2} - 3}}{{4{t^2}}} = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{1}{2}\)

BBT:

Từ BBT \( \Rightarrow \min f\left( t \right) = f\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = 3 \Rightarrow {P_{\min }} = 3\).

Chọn A.