Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = AC. Gọi M là...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Áp dụng kiến thức đã học về tam giác, tam giác vuông cân và chứng minh các cặp tam giác bằng nhau (theo trường hợp phù hợp) để tìm ra mối liên hệ cần thiết chứng minh yêu cầu của đề bài.

b)  Áp dụng kiến thức đã học về tam giác, tam giác vuông cân, đường thẳng song song  và chứng minh các cặp tam giác bằng nhau (theo trường hợp phù hợp) để tìm ra mối liên hệ cần thiết chứng minh yêu cầu của đề bài.

c) Chứng minh cặp tam giác vuông bằng nhau bằng các trường hợp đồng dạng.

d) Dựa vào yêu cầu của bài toán và giả thiết để tìm ra đáp án

Giải chi tiết:

a) Theo đề bài ta có: \(\Delta ABC\) vuông tại A và AB = AC.

 \(\Rightarrow \Delta ABC\) vuông cân tại A.

\(\Rightarrow \angle ABM=\angle ACM={{45}^{0}}\) (2 góc đáy bằng nhau) \(\)

Xét \(\Delta AMB\) và \(\Delta AMC\) ta có:

BM = MC (M là trung điểm của BC)

AB = AC (theo giả thiết)

\(\angle ABM=\angle ACM\) (chứng minh trên)

 \(\Rightarrow \Delta AMB=\Delta AMC\ (c-g-c)\) (đpcm)

\(\Rightarrow \angle BAM=\angle CAM\)

Mà \(\angle BAC=\angle BAM+\angle MAC={{90}^{0}}\Rightarrow \angle BAM=\angle CAM=\frac{1}{2}\angle BAC={{45}^{0}}\)

Xét tam giác AMB, ta có:

\(\begin{align}  & \angle ABM+\angle BAM+\angle AMB={{180}^{0}} \\  & \Leftrightarrow {{45}^{0}}+{{45}^{0}}+\angle AMB={{180}^{0}} \\  & \Leftrightarrow \angle AMB={{90}^{0}} \\ \end{align}\)

\(\Rightarrow AM\bot BC\) (đpcm) \(\Delta AMB\)

b) Xét tam giác ADF và tam giác CDE ta có:

            AD = DC (D là trung điểm AC)

            DE = DF (theo giả thiết)

            \(\angle A\text{D}F=\angle C\text{D}E\) (2 góc đối đỉnh)

\(\Rightarrow \Delta A\text{D}F=\Delta C\text{D}E\ (c-g-c)\)(đpcm)

\(\Rightarrow \angle DAF=\angle DCE\) (2 góc tương ứng)

Lại thấy \(\angle DCE\)  và \(\angle DAF\) là cặp góc so le trong bằng nhau \(\Rightarrow AF\parallel CE\)(đpcm)

c) Xét 2 tam giác vuông BAD và ACG ta có:

            \(\angle CAG=\angle AB\text{D}\) (cùng phụ với góc \(\angle BAG\))

AB = AC (theo giả thiết)

\(\Rightarrow \Delta BA\text{D}=\Delta ACG\ \)(cạnh góc  vuông – góc nhọn kề cạnh ấy) (đpcm)

d) Ta có: \(\Delta BA\text{D}=\Delta ACG\ \left( cmt \right)\)

\(\Rightarrow A\text{D}=CG\) (2 cạnh tương ứng)

Ta lại có: \(A\text{D}=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}AB\)

\(\Rightarrow 2CG=AB\)(đpcm)