Trong không gian \(Oxyz,\) cho đường thẳng \(d:\le...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Tìm giao điểm \(I\) của \(d\) và \(\Delta .\)

+) Lấy điểm \(B\left( {{x}_{0}};\ {{y}_{0}};\ {{z}_{0}} \right)\in d.\)

+) Tìm tọa độ điểm \(C\in \Delta \) sao cho \(IB=IC.\)

+) Khi đó đường phân giác của \(d\) và \(\Delta \) là đường thẳng có VTCP \(\overrightarrow{n}=\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}\) và đi qua \(A.\)

Giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 3;\ 4;\ 0 \right)\) và \(d\) đi qua \(A\left( 1;\ 1;\ 1 \right).\)

\(\Rightarrow d\cap \Delta =A\left( 1;\ 1;\ 1 \right).\)

Phương trình đường thẳng \(\Delta :\ \ \left\{ \begin{align}  & x=1-2t \\ & y=1+t \\ & z=1+2t \\\end{align} \right..\)

Chọn \(B\left( 4;\ 5;\ 1 \right)\) là một điểm thuộc đường thẳng \(d.\)

Ta có: \(\overrightarrow{AB}=\left( 3;\ 4;\ 0 \right)\Rightarrow AB=5.\)

Lấy điểm \(C\left( 1-2t;\ 1+t;\ 1+2t \right)\in \Delta \) sao cho \(AB=AC.\)

\(\Rightarrow {{\left( -2t \right)}^{2}}+{{t}^{2}}+{{\left( 2t \right)}^{2}}=25\Leftrightarrow {{t}^{2}}=\frac{25}{9}\Leftrightarrow t=\pm \frac{5}{3}.\)

+) Với \(t=\frac{5}{3}\Rightarrow C\left( -\frac{7}{3};\ \frac{8}{3};\ \frac{13}{3} \right)\Rightarrow \overrightarrow{AC}=\left( -\frac{10}{3};\ \frac{5}{3};\ \frac{10}{3} \right).\)

Khi đó ta có: \(\cos \left( d,\ \Delta  \right)=\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{\left| \overrightarrow{AB} \right|.\left| \overrightarrow{AC} \right|}=\frac{-\frac{10}{3}}{5.5}=-\frac{2}{15}<0\Rightarrow \angle \left( d;\ \Delta  \right)\) là góc tù.

+) Với \(t=-\frac{5}{3}\Rightarrow C\left( \frac{13}{3};-\frac{2}{3};-\frac{7}{3} \right)\Rightarrow \overrightarrow{AC}=\left( \frac{10}{3};-\frac{5}{3};-\frac{10}{3} \right).\)

Khi đó ta có: \(\cos \left( d,\ \Delta  \right)=\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{\left| \overrightarrow{AB} \right|.\left| \overrightarrow{AC} \right|}=\frac{\frac{10}{3}}{5.5}=\frac{2}{15}>0\Rightarrow \angle \left( d;\ \Delta  \right)\) là góc nhọn nên ta cần lập phương trình đường phân giác trong TH này.

Ta có VTCP của đường phân giác của góc tạo bởi \(d\) và \(\Delta \) là: \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\left( \frac{19}{3};\ \frac{7}{3};\ -\frac{10}{3} \right)=\frac{1}{3}\left( 19;\ 7;\ -10 \right).\)

Khi đó phương trình đường phân giác \(d'\)  đi qua \(A\left( 1;\ 1;\ 1 \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow{u}=\left( 19;\ 7;-10 \right)\) là: \(\left\{ \begin{align}  & x=1+19t \\ & y=1+7t \\ & z=1-10t \\\end{align} \right..\)

Với \(t=-1\) ta có: \(I\left( -18;-6;\ 11 \right)\in d'.\)

Vậy đường thẳng \(d':\ \left\{ \begin{align}  & x=-18+19t \\ & y=-6+7t \\ & z=11-10t \\\end{align} \right..\)

Chọn B.