Cho hàm số \(y = \frac{{x - 2}}{{x + 2}}\) có đồ t...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Gọi \(A\left( {a - 2;1 - \frac{4}{a}} \right);\,\,B\left( {b - 2;1 - \frac{4}{b}} \right) \in \left( C \right)\,\,\left( {a \ne b} \right)\)

Tìm tọa độ trung điểm M của AB.

\(\Delta IAB\) đều \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {IM} .\overrightarrow {AB}  = 0\\IM = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2}\end{array} \right.\)

Giải chi tiết:

Dễ thấy hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{x - 2}}{{x + 2}}\) là \(x =  - 2\) và \(y = 1 \Rightarrow I\left( { - 2;1} \right)\)

Ta có: \(y = \dfrac{{x - 2}}{{x + 2}} = 1 - \dfrac{4}{{x + 2}}\)

Gọi \(A\left( {a - 2;1 - \dfrac{4}{a}} \right);\,\,B\left( {b - 2;1 - \dfrac{4}{b}} \right) \in \left( C \right)\,\,\left( {a \ne b} \right)\)

Gọi M là trung điểm của AB \( \Rightarrow M\left( {\dfrac{{a + b}}{2} - 2;1 - 2\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}} \right)} \right)\)

Do tam giác IAB đều \( \Rightarrow \overrightarrow {IM} .\overrightarrow {AB}  = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{a + b}}{2}.\left( {b - a} \right) - 2\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}} \right).\left( {\dfrac{4}{a} - \dfrac{4}{b}} \right) = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {{b^2} - {a^2}} \right)}}{2} - 8\left( {\frac{1}{{{a^2}}} - \dfrac{1}{{{b^2}}}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{b^2} - {a^2}}}{2} - 8\dfrac{{{b^2} - {a^2}}}{{{a^2}{b^2}}} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{b^2} - {a^2}} \right)\left( {\dfrac{1}{2} - \dfrac{8}{{{a^2}{b^2}}}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{b^2} - {a^2} = 0\\{a^2}{b^2} = 16\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a =  - b\\{a^2}{b^2} = 16\end{array} \right.\end{array}\)

TH1: \(a =  - b \Rightarrow a + b = 0 \Rightarrow M\left( { - 2;1} \right) \equiv I \Rightarrow I\) là trung điểm của AB (ktm vì tam giác IAB đều).

TH2: \({a^2}{b^2} = 16\)

Do tam giác IAB đều \( \Rightarrow IM = AB\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow 4I{M^2} = 3A{B^2}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 4\left[ {\dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4} + 4{{\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}} \right)}^2}} \right] = 3\left[ {{{\left( {b - a} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{4}{b} - \dfrac{4}{a}} \right)}^2}} \right]\\ \Leftrightarrow {\left( {a + b} \right)^2} + 16\dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{16}} = 3{\left( {a - b} \right)^2} + 3.\dfrac{{16{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{16}}\\ \Leftrightarrow 2{\left( {a + b} \right)^2} = 6{\left( {a - b} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 2{a^2} + 4ab + 2{b^2} = 6{a^2} - 12ab + 6{b^2}\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 4ab \Rightarrow ab \ge 0 \Leftrightarrow ab = 4\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} = 16\\ab = 4\end{array} \right.\\ \Rightarrow A{B^2} = {\left( {b - a} \right)^2} + {\left( {\dfrac{4}{b} - \dfrac{4}{a}} \right)^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab + \dfrac{{16\left( {{a^2} + {b^2} - 2ab} \right)}}{{{a^2}{b^2}}} = 16\\ \Rightarrow AB = 4\end{array}\)

Chọn B.