Cho \(\left( P \right)\) là đồ thị hàm số \(y =  -...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Lập bảng giá trị và vẽ đồ thị.

b) Lập phương trình hoành độ giao điểm tìm tọa độ A, B từ đó tìm hàm số của đường thẳng AB. Hai đường thẳng \(y = ax + b\) và \(y = a'x + b'\) vuông góc với nhau \( \Leftrightarrow a.a' =  - 1\). Từ đó tính diện tích tam giác vuông theo công thức.

Giải chi tiết:

a) Vẽ đồ thị của các hàm số \(y =  - \frac{1}{2}{x^2}\), \(y = 2x\) và \(y =  - x\) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

+) Vẽ đồ thị hàm số \(\left( P \right):\,\,\,y =  - \frac{1}{2}{x^2}\)

Ta có bảng giá trị:

Vậy đồ thị hàm số \(y =  - \frac{1}{2}{x^2}\) là đường cong đi qua các điểm \(\left( { - 2; - 2} \right),\,\,\left( { - 1; - \frac{1}{2}} \right),\,\left( {0;0} \right),\,\,\left( {1; - \frac{1}{2}} \right),\,\,\left( {2; - 2} \right).\)

+) Vẽ đồ thị hàm số \(\left( d \right):\,\,\,y = 2x\)

Ta có bảng giá trị: 

Vậy đồ thị hàm số \(y = 2x\) là đường thẳng đi qua hai điểm \(\left( {0;\,0} \right),\,\,\left( {1;\,2} \right).\)

+) Vẽ đồ thị hàm số \(\left( {d'} \right):\,\,\,y =  - x\)

Ta có bảng giá trị:

Vậy đồ thị hàm số \(y =  - x\) là đường thẳng đi qua hai điểm \(\left( {0;\,0} \right),\,\,\left( {1;\, - 1} \right).\)

b) Các đồ thị \(\left( P \right)\), \(\left( d \right)\) và \(\left( {d'} \right)\) có một điểm chung là gốc tọa độ O. Gọi A là giao điểm thứ hai của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right);\) B là giao điểm thứ hai của \(\left( P \right)\) và \(\left( {d'} \right)\).Chứng minh rằng tam giác OAB vuông và tính diện tích tam giác OAB (đơn vị đo trên các trục tọa độ là xentimét).

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) là:

\( - \frac{1}{2}{x^2} = 2x \Leftrightarrow  - {x^2} - 4x = 0 \Leftrightarrow  - x\left( {x + 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = 0\\x =  - 4 \Rightarrow y =  - 8\end{array} \right.\)

\(A \ne O\) là giao điểm thứ hai của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) \( \Rightarrow A\left( { - 4; - 8} \right)\)

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( {d'} \right)\) là:

\( - \frac{1}{2}{x^2} =  - x \Leftrightarrow  - {x^2} + 2x = 0 \Leftrightarrow  - x\left( {x - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = 0\\x = 2 \Rightarrow y =  - 2\end{array} \right.\)

\(B \ne O\) là giao điểm thứ hai của \(\left( P \right)\) và \(\left( {d'} \right)\) \( \Rightarrow B\left( {2; - 2} \right)\)

Gọi \(y = ax + b\) là đường thẳng AB, ta có hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l} - 8 =  - 4a + b\\ - 2 = 2a + b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2 = 2a + b\\6a = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - 4\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left( {AB} \right):y = x - 4\)

Xét \(\left( {d'} \right):\,\,y =  - x,\,\,\,AB:\,\,\,y = x - 4\) có tích hệ số góc của hai đường thẳng là: 

\( - 1.1 =  - 1 \Rightarrow \left( {AB} \right) \bot \left( {d'} \right) \Rightarrow AB \bot OB\) hay tam giác OAB vuông tại B

Dễ thấy OB là đường chéo của hình vuông cạnh  \(2\,\,cm\,\, \Rightarrow OB = \sqrt {{2^2} + {2^2}}  = 2\sqrt 2 \,\,\left( {cm} \right).\)

AB là đường chéo của hình vuông cạnh \(6\,\,cm\,\, \Rightarrow AB = \sqrt {{6^2} + {6^2}}  = 6\sqrt 2 \,\,\,\left( {cm} \right).\)

Tam giác OAB vuông tại B \( \Rightarrow {S_{\Delta OAB}} = \frac{{OB.AB}}{2} = \frac{{2\sqrt 2 .6\sqrt 2 }}{2} = 12\,\,\left( {c{m^2}} \right).\)