Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm k...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

\(\int{f(x).u'(x)dx=\int{f(x)d\left( u(x) \right)}}\)

Giải chi tiết:

Xét phương trình: \({{\left[ f(x) \right]}^{4}}{{\left[ f'(x) \right]}^{2}}({{x}^{2}}+1)=1+{{\left[ f(x) \right]}^{3}}\) (1)

Đặt \(g(x)=1+{{\left[ f(x) \right]}^{3}}\Rightarrow g'(x)=3{{\left[ f(x) \right]}^{2}}.f'(x)\)

\(\Rightarrow {{\left[ g'(x) \right]}^{2}}=9{{\left[ f(x) \right]}^{4}}{{\left[ f'(x) \right]}^{2}}\)

Khi đó, (1) \(\Leftrightarrow \frac{1}{9}{{\left[ g'(x) \right]}^{2}}({{x}^{2}}+1)=g(x)\Leftrightarrow \frac{{{\left[ g'(x) \right]}^{2}}}{g(x)}=\frac{9}{{{x}^{2}}+1}\) (2)

Vì \(f(x)\) có đạo hàm không âm trên \(\left[ 0;1 \right]\) và \(f(x)>0\) với \(\forall x\in \left[ 0;1 \right]\) nên \(g(x)=1+{{\left[ f(x) \right]}^{3}}\) cũng có đạo hàm không âm trên \(\left[ 0;1 \right]\) và \(g(x)>0\) với \(\forall x\in \left[ 0;1 \right]\).

\((2)\Leftrightarrow \frac{g'(x)}{\sqrt{g(x)}}=\frac{3}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}\) \(\forall x\in \left[ 0;1 \right]\) \(\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{\frac{g'(x)}{\sqrt{g(x)}}dx}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{3}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}dx}\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{\frac{d\left[ g(x) \right]}{\sqrt{g(x)}}}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{3}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}dx}\Leftrightarrow 2\left. \sqrt{g(x)} \right|_{0}^{1}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{3}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}dx}\)

Đặt \(t=x+\sqrt{{{x}^{2}}+1}\Rightarrow dt=\left( 1+\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}} \right)dx\Leftrightarrow \frac{dt}{t}=\frac{dx}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}\). (Đổi cận: \(x=0\to t=1,\,\,x=1\to t=1+\sqrt{2}\))

\(\int\limits_{0}^{1}{\frac{3}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}dx}=3\int\limits_{1}^{1+\sqrt{2}}{\frac{dt}{t}=3\ln \left. \left| t \right| \right|_{1}^{1+\sqrt{2}}=3\ln \left( 1+\sqrt{2} \right)}\)

\(\begin{align}  & \Rightarrow 2\left. \sqrt{g(x)} \right|_{0}^{1}=3\ln (1+\sqrt{2})\Leftrightarrow 2\sqrt{g(1)}-2\sqrt{g(0)}=3\ln (1+\sqrt{2})\Leftrightarrow 2\sqrt{g(1)}-2\sqrt{9}=3\ln (1+\sqrt{2}) \\  & \Leftrightarrow g(1)={{\left( \frac{3\ln (1+\sqrt{2})+6}{2} \right)}^{2}} \\ \end{align}\)

( do\(g(0)=1+{{\left[ f(0) \right]}^{3}}=1+{{2}^{3}}=9\)).

\(\Rightarrow {{\left( \frac{3\ln (1+\sqrt{2})+6}{2} \right)}^{2}}=1+{{\left[ f(1) \right]}^{3}}\Leftrightarrow f(1)\approx 2,61\).

\(\Rightarrow \frac{5}{2}<f(1)<3\)

Chọn: C