Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có đáy ABCD c...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Tính khoảng cách từ O đến (SCD).

+) \(MO\cap \left( SCD \right)=C\Rightarrow \frac{d\left( M;\left( SCD \right) \right)}{d\left( O;\left( SCD \right) \right)}=\frac{MC}{OC}=\frac{3}{2}\)

Giải chi tiết:

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD \(\Rightarrow SO\bot \left( ABCD \right).\)

Gọi E là trung điểm của CD ta có :

\(\left\{ \begin{align} & CD\bot OE \\ & CD\bot SO \\ \end{align} \right.\Rightarrow CD\bot \left( SOE \right)\).

Trong mặt phẳng (SOE) kẻ:

\(OK\bot SE\Rightarrow OK\bot CD\Rightarrow OK\bot \left( SCD \right)\Rightarrow d\left( O;\left( SCD \right) \right)=OK\) Ta có : \(OB=\frac{a\sqrt{2}}{2}\Rightarrow SO=\sqrt{S{{D}^{2}}-O{{D}^{2}}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}\)

\(\Rightarrow \frac{1}{O{{K}^{2}}}=\frac{1}{S{{O}^{2}}}+\frac{1}{O{{E}^{2}}}=\frac{6}{{{a}^{2}}}\Rightarrow OK=\frac{a\sqrt{6}}{6}\)

Ta có :

\(MO\cap \left( SCD \right)=C\Rightarrow \frac{d\left( M;\left( SCD \right) \right)}{d\left( O;\left( SCD \right) \right)}=\frac{MC}{OC}=\frac{3}{2}\Rightarrow d\left( M;\left( SCD \right) \right)=\frac{3}{2}d\left( O;\left( SCD \right) \right)=\frac{3}{2}.\frac{a\sqrt{6}}{6}=\frac{a\sqrt{6}}{4}\).

Chọn D.