Cho hàm số \(f\left( x...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

\({{I}_{1}}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{f\left( \tan x \right)dx}=3\), đặt \(t=\tan x\)

Cộng hai tích phân vừa tìm được và \({{I}_{2}}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{x}^{2}}f\left( x \right)}{{{x}^{2}}+1}dx}=1\) với nhau và rút ra I.

Giải chi tiết:

\({{I}_{1}}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{f\left( \tan x \right)dx}=3\)

Đặt \(t=\tan x\Leftrightarrow dt=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}dx=\left( {{t}^{2}}+1 \right)dx\Rightarrow dx=\frac{dt}{{{t}^{2}}+1}\), đổi cận \(\left\{ \begin{align}  x=0\Rightarrow t=0 \\  x=\frac{\pi }{4}\Rightarrow t=1 \\ \end{align} \right.\)

\(\Rightarrow {{I}_{1}}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{f\left( t \right)dt}{{{t}^{2}}+1}}=3=\int\limits_{0}^{1}{\frac{f\left( x \right)}{{{x}^{2}}+1}dx}=3\)

\(\begin{align}  {{I}_{2}}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{x}^{2}}f\left( x \right)}{{{x}^{2}}+1}dx}=1\Rightarrow {{I}_{1}}+{{I}_{2}}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{f\left( x \right)}{{{x}^{2}}+1}dx}+\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{x}^{2}}f\left( x \right)}{{{x}^{2}}+1}dx}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{f\left( x \right)\left( {{x}^{2}}+1 \right)}{{{x}^{2}}+1}dx}=\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}=3+1=4 \\  \Rightarrow I=4 \\ \end{align}\)

Chọn D.