Cho hình chữ nhật MNDC nội tiếp trong nửa đường tr...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phân tích bài toán:

Đây là một bài tập hình không gian dùng để phân loại học sinh. Bài tập khó ở chỗ, các em phải tưởng tượng ra được khi cho nửa hình tròn đường kính AB và hình chữ nhật MNDC quay một vòng quanh đường kính AB thì kết quả sẽ tạo ra hình gì? Sau khi đã vẽ được hình các em cũng phải nắm được một số định lý trong đường tròn như: Mối liên hệ giữa đường kính và dây cung,…tính chất đường trung bình, định lý pitago để tìm ra được chiều cao hình trụ. Các em cũng phải phân tích được hình để xem phần thể tích đề yêu cầu là phần nào? Đồng thời các em cũng phải nhớ các công thức sau:

*)  Hình trụ

+)  Diện tích xung quanh của khối trụ tròn xoay:  \({S_{xq}} = 2\pi rh\)

Trong đó: r   là bán kính đường tròn đáy.

                h   là độ dày đường cao hình trụ

+)  Thể tích của khối trụ tròn xoay:  \(V = \pi {r^2}h\)

Trong đó: r   là bán kính đường tròn đáy.

                 h  là độ dài đường cao hình trụ

*  Hình cầu

+)  Diện tích của mặt cầu:  \(S = 4\pi {r^2}\)

Trong đó: r   là bán kính mặt cầu.

+)  Thể tích của khối cầu:  \(V = \frac{4}{3}\pi {r^3}\)

 Trong đó:  r   là bán kính mặt cầu.

Giải chi tiết:

Từ O ta vẽ OI vuông góc với dây CD tại I

\( \Rightarrow \) I là trung điểm của dây CD ( tính chất đường kính vuông góc với dây )

\( \Rightarrow \) OI // MC // ND (quan hệ vuông góc, song song) . Do đó OI là đường trung bình của hình chữ nhật MNDC

\( \Rightarrow \) O là trung điểm của MN

Khi cho nửa hình tròn đường kính AB và hình chữ nhật MNDC quay một vòng quanh đường kính AB ta được một hình trụ đặt khít trong hình cầu. Bán kính của hình cầu là: \(R = \frac{{AB}}{2}\)= OC = 10cm Hình trụ có bán kính đáy:  r = MC = 8cm và chiều cao  h = 2OM Xét tam giác vuông OMC, vuông tại M, áp dụng định lý pitago, ta có:

\(O{M^2} = O{C^2} - M{C^2} = {10^2} - {8^2} = 100 - 64 = 36\Rightarrow OM = 6cm\)

\( \Rightarrow \) h = 2OM = 2.6 = 12cm

Thể tích hình cầu là:

\({V_1} = \frac{4}{3}.\pi .{R^3} = \frac{4}{3}.\pi {.10^3} = \frac{{4000\pi }}{3}(c{m^3})\)

Thể tích hình trụ đặt khít trong hình cầu là:

\({V_2} = \pi .{r^2}.h = \pi {.8^2}.12 = 768{\pi \,}\left({c{m^3}} \right)\)

Vậy thể tích phần hình cầu ở ngoài hình trụ đặt vừa khít  nó là:

\(V = {V_1} - {V_2} = \frac{{4000\pi }}{3} - 768\pi  =\frac{{1696\pi }}{3} \approx 1776,{047\,}\left( {c{m^3}} \right)\)