Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương pháp hàm số.

Giải chi tiết:

ĐKXĐ:  \(\left\{ \begin{align}  {{e}^{x}}+m\ge 0 \\  m+\sqrt{{{e}^{x}}+m}\ge 0 \\ \end{align} \right.\)

\(\sqrt{m+\sqrt{m+{{e}^{x}}}}={{e}^{x}}\Leftrightarrow m+\sqrt{m+{{e}^{x}}}={{e}^{2x}}\)

Đặt \({{e}^{x}}=a,\,\,\sqrt{m+{{e}^{x}}}=b,\,\,\left( a>0,\,\,b\ge 0 \right)\)

Khi đó, ta có hệ phương trình 

\(\left\{ \begin{array}{l}m + b = {a^2}\\m + a = {b^2}\end{array} \right. \Rightarrow (b - a) = (a - b)(a + b) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a - b = 0\\a + b =  - 1(voli)\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b\)

\(\Rightarrow {{e}^{x}}=\sqrt{m+{{e}^{x}}}\Leftrightarrow {{e}^{2x}}=m+{{e}^{x}}\Leftrightarrow {{e}^{2x}}-{{e}^{x}}=m\) (1)

Xét hàm số \(y={{e}^{2x}}-{{e}^{x}}\) có \(y'=2{{e}^{2x}}-{{e}^{x}}\)

\(y'=0\Leftrightarrow 2{{e}^{2x}}-{{e}^{x}}=0\Leftrightarrow {{e}^{x}}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=-\ln 2\)

Bảng biến thiên:

Phương trình (1) có nghiệm thực \(\Leftrightarrow m\ge -\frac{1}{4}\)

Theo đề bài : \(m<10,\,\,m\in Z\Rightarrow m\in \left\{ 0;1;2;...;9 \right\}\). Có 10 giá trị của m thỏa mãn.

Chọn: B