Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\l...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định điểm \(I\) thỏa mãn : \(2\overrightarrow {IA}  + 3\overrightarrow {IB}  - 4\overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0 \)

Bước 2: Biến đổi  \(\left| {2\overrightarrow {MA}  + 3\overrightarrow {MB}  - 4\overrightarrow {MC} } \right| = \left| {\overrightarrow {MI} } \right| = MI\)

Bước 3: Đánh giá và tìm vị trí của M để MI ngắn nhất (M là chân đường vuông góc kẻ từ I đến mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\)).

Giải chi tiết:

+) Xác định điểm \(I(a;b;c)\) sao cho: \(2\overrightarrow {IA}  + 3\overrightarrow {IB}  - 4\overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0 \):

Ta có:\(\overrightarrow {IA}  = \left( {2 - a;1 - b; - c} \right),\,\,\overrightarrow {IB}  = \left( { - a;2 - b;1 - c} \right),\,\,\overrightarrow {IC}  = \left( {1 - a;3 - b; - 1 - c} \right)\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\left( {2 - a} \right) + 3\left( { - a} \right) - 4\left( {1 - a} \right) = 0\\2\left( {1 - b} \right) + 3\left( {2 - b} \right) - 4\left( {3 - b} \right) = 0\\2\left( { - c} \right) + 3\left( {1 - c} \right) - 4\left( { - 1 - c} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b =  - 4\\c = 7\end{array} \right. \Rightarrow I(0; - 4;7)\)

Khi đó: \(\left| {2\overrightarrow {MA}  + 3\overrightarrow {MB}  - 4\overrightarrow {MC} } \right| = \left| {2\overrightarrow {MI}  + 2\overrightarrow {IA}  + 3\overrightarrow {MI}  + 3\overrightarrow {IB}  - 4\overrightarrow {MI}  - 4\overrightarrow {IC} } \right| = \left| {\overrightarrow {MI}  + \underbrace {\left( {2\overrightarrow {IA}  + 3\overrightarrow {IB}  - 4\overrightarrow {IC} } \right)}_{\overrightarrow 0 }} \right| = MI\), \( \Rightarrow \left| {2\overrightarrow {MA}  + 3\overrightarrow {MB}  - 4\overrightarrow {MC} } \right|\) đạt GTNN khi và chỉ khi MI ngắn nhất

\( \Leftrightarrow \)M là chân đường vuông góc kẻ từ I đến mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\).

+) Xác đinh tọa độ điểm \(H\) là chân đường vuông góc kẻ từ \(I(0; - 4;7)\) đến mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):2x + y - 2z + 9 = 0\).

Đường thẳng IH nhận \(\overrightarrow {{n_{\left( \alpha  \right)}}} \left( {2;1; - 2} \right)\) là VTCP, phương trình đường thẳng IH:  \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y =  - 4 + t\\z = 7 - 2t\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}H \in IH \Rightarrow H\left( {2t; - 4 + t;7 - 2t} \right)\\H \in \left( \alpha  \right) \Rightarrow 2\left( {2t} \right) + \left( { - 4 + t} \right) - 2\left( {7 - 2t} \right) + 9 = 0 \Leftrightarrow 9t - 9 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow H\left( {2; - 3;5} \right)\end{array}\)

Vậy, điểm M cần tìm có tọa độ \(M\left( {2; - 3;5} \right) \Rightarrow {x_M} + {y_M} + {z_M} = 4\).

Chọn: B