Xét hàm số \(f(x)\)liên tục trên đoạn \(\left[ {0;...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Tích phân 2 vế của phương trình đã cho.

Giải chi tiết:

Tích phân hai vế của phương trình: \(4x.f({x^2}) + 3f(1 - x) = \sqrt {1 - {x^2}} \), ta được:

\(4\int\limits_0^1 {x.f({x^2})dx}  + 3\int\limits_0^1 {f(1 - x)dx}  = \int\limits_0^1 {\sqrt {1 - {x^2}} dx} \) (1)

Giả sử \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\).

\(\int\limits_0^1 {x.f({x^2})dx}  = \frac{1}{2}\int\limits_0^1 {f({x^2})d{x^2}}  = \frac{1}{2}\left( {F({1^2}) - F({0^2})} \right) = \frac{1}{2}\left( {F(1) - F(0)} \right)\)

\(\int\limits_0^1 {f(1 - x)dx}  =  - \int\limits_0^1 {f(1 - x)d\left( {1 - x} \right)}  =  - \left( {F(1 - 1) - F(1 - 0)} \right) =  - \left( {F(0) - F(1)} \right)\)

\(\int\limits_0^1 {\sqrt {1 - {x^2}} dx} \) là \(\frac{1}{4}\) diện tích hình tròn tâm O(0;0) bán kính 1 (phương trình: \({x^2} + {y^2} \le 1\)) \( \Rightarrow \int\limits_0^1 {\sqrt {1 - {x^2}} dx}  = \frac{1}{4}.\pi .{R^2} = \frac{1}{4}\pi {.1^2} = \frac{\pi }{4}\)

Khi đó, \((1) \Leftrightarrow 4.\frac{1}{2}.(F(1) - F(0)) - 3(F(0) - F(1)) = \frac{\pi }{4} \Leftrightarrow 5(F(1) - F(0)) = \frac{\pi }{4} \Leftrightarrow F(1) - F(0) = \frac{\pi }{{20}}\)

\(I = \int_0^1 {f(x)dx}  = F(1) - F(0) = \frac{\pi }{{20}}\) .

Chọn: D